Fermi level 이란 - Fermi level ilan

글쓴이 화공쟁이등록일2010-03-22 17:56조회8,920회추천0건댓글9건

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    저는 화공쟁이입니다. Fermi Level을 독학했습니다. 우연히 인터넷에서 페르미 준위 정의를 뒤지다 12708번 전자공학자와 물리학자의 페르미 준위에 대한 논쟁을 읽었습니다.

    저의 소견으로는 돌백수님이나 무교동님은 하나만 알고 둘은 모르는 것 같습니다. 무교동님은 절대온도 0도에서의 페르미 준위 정의를, 돌백수님은 절대온도 0도 이상의 온도에서의 페르미준위 정의를 말씀하시고 계시는 것 같습니다. 그런 의미에서 사색자님이나 전자군이 조금 더 Fermi Level을 이해하는 것 같습니다.

    고체는 연속준위지만 최고 에너지준위는 있습니다. 즉, 최고준위 이하에서는 모든 valence band와 conduction band가 겹치어 band gap이 없어지게 되죠. 절대온도 0도에서 전자가 차있는 바로 이 “가장 높은 에너지준위”가 무교동님이 말씀하시는 페르미 준위입니다.

    그러나 절대온도 0도 이상일 때가 문제입니다. 절대온도 0도 이상에서는 최고 에너지준위 (valence band)에 있는 전자가 그 이상의 에너지준위 (conduction band) 쪽으로 exciting되기 때문에 전자밀도함수가 절대온도 0도에서처럼 step function이 안되고 S curve 형태를 보입니다. 전자밀도함수는 온도의 함수이기 때문이지요.

    따라서 특정온도에서의 Fermi Level은 “전자가 채워질 확률이 1/2이 되는 에너지준위”로 정의하게 됩니다. 최고의 에너지준위 이상에서도 전자가 존재하니까 어떡하든 높아진 에너지 준위를 정의해야 하는데 “어떤 에너지준위에서 전가가 발견될 확률이 1/2인 에너지준위”를 절대온도 0도 이상의 온도에서의 페르미 준위로 정의한 것이지요. 어떤 사람은 왜 1/2 확률이냐, 10% 확률도 의미가 있으니 전자가 발견될 확률이 1/10인 지점을 페르미 준위로 정의하자고 할 수도 있습니다.

    절대온도 0도 이상의 온도에서는 Fermi Level이 절대온도 0도 일때의 Fermi Level보다 항상 높아지게 되며 온도를 말하지 않는 페르미 준위는 절대온도 0도를 의미한다고 보여집니다.

    “페르미 준위에 전자가 채워질 확률이 1/2이라는 말은 아직도 이해가 안 간다”는 무교동님은 Kittel 교과서를 다시 보셔야 할 것 같습니다.

    그리고 기초학문은 대가가 가르치는 것이 학생들에게 더 배울 것이 많다고 생각합니다. 단 대가도 성의있는 대가에 한해서요. 매일 커피머그 들고 들어 와서 미식축구얘기나 진탕하고 나가는 정치교수들 말고 말입니다.

    뻔데기 앞에서 주름잡았습니다. 죄송합니다. 꾸벅.

    다른 사람들 의견

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      준페르미준위 (quasi-Fermi Level)은 non-equillibrium 상태에서의 페르미 레벨을 말합니다. 기존에 equillibrium상태에서의 페르미 레벨은 1개만 존재하였습니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      앞선 이 공식을 통해 캐리어 농도를 알면 페르미 준위를 구할 수 있고, 반대로 페르미 준위를 알면 캐리어 농도를 구할 수 있었습니다. 하지만 non-equillibrium상태가 되면 한 개의 페르미레벨로  캐리어 농도를 표현할 수 없게 됩니다. 저번 포스팅에서 보았듯이 빛에 의해 low-level injection이 발생하면 다수 캐리어의 수는 변하지 않고 소수 캐리어의 수가 급격히 증가하게 되는 상황에서는 한 개의 페르미 레벨로 이 상태를 표현할 수 없게 됩니다.

      그래서 두 개의 페르미 레벨, Fn Fp로 표현하게 되고 이 것을 준페르미 준위, quasi fermi-level이라고 부릅니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      표현하는 방식은 기존 페르미 준위와 같습니다. 다른 점은 두 개의 레벨이 생겨 두 캐리어 농도를 각각 표현해줄 수 있다는 점이죠.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      에너지 밴드 다이어그램으로 보면 위와 같이 볼 수 있습니다. N-type 반도체에서 low level injection 같은 경우는 Fn은 인젝션 전 Ef레벨과 거의 동일한 것을 알 수 있습니다. 반면에 소수 캐리어 홀은 급격히 늘어나면서 Fp레벨이 생긴 것을 볼 수 있습니다. 여기서 눈여겨 볼점은 low-level injection이기 때문에 홀의 숫자가 늘어나긴 했지만 자유전자의 수보다는 훨씬 적기 때문에 (저번 포스팅 문제에서 확인할 수 있습니다) 밸런스 밴드와의 거리가 좀 큰 것을 볼 수 있죠. (페르미 레벨이 컨덕션 밴드와 가까울 수록 자유전자가 많다는 것을 의미하며, 밸런스 밴드와 가깝다는 뜻은 홀이 많다는 뜻을 의미합니다.)

      반면에 high level injection 경우에는 다수 캐리어인 자유전자의 수도 더 늘어난 것을 볼 수 있고, 홀의 숫자도 더 급격히 늘어나 두 준페르미 준위가 각각 컨덕션 밴드와 밸런스 밴드와 가깝게 형성된 것을 알 수 있습니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      그렇다면 이 전류밀도 식의 p에 준페르미준위가 포함된 공식을 넣어볼 수 있습니다. 마지막 항인 확산전류항의 Δp를 구해보면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      마지막 항에서 E는 전기장을 뜻합니다! Ei를 q*E로 나타낸 것이죠. 여기서 예전에 배웠던 아인슈타인 규칙을 이용하면

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      모빌리티를 위와 같이 바꿔주고 대입할 수 있습니다. 그러면 결과적으로 아래와 같은 공식이 나옵니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      이는 준페르미 준위가 반도체 위치에 따라 변하게 되면 전류가 생긴다는 뜻입니다. 즉 저번 포스팅을 예제로 들면 빛이 반도체 내부를 파고들면서 Δp를 생성시키다가 점점 사라지면서 줄어드는데요 에너지 밴드 관점에서 보면 Fp가 x=0인 시점에는 Ef와 분리되어 Ef 자리에는 Fn이라고 볼 수 있게되고 Fp는 Ei 근처 쯤에 머물다가 Δp가 줄어들면서 Fp와 Fn이

      합쳐지는 그림을 생각할 수 있습니다. 글로만 써서 어려운데 아래 그림과 같습니다.

      Fermi level 이란 - Fermi level ilan

      빛의 영향으로 equillibrium 상태가 깨지고 Fp가 x=0 부근에서 생성됩니다. 하지만 저번 포스팅에서 보았듯이 generation으로 생겨난 홀은 곧 recombination이 증가함에 따라 Δp가 줄어들게 되죠. 빛은 반도체 내부를 파고들수록 익스포넨셜하게 그 힘을 잃습니다. 따라서 점점 다시 equillibrium 상태로 넘어가게 되는 것이죠. 그래서 두 준페르미 레벨로 갈라졌던 Fn과 Fp가 합쳐져 하나의 페르미 레벨 Ef로 보이게 되는 것입니다. 

      그리고 저 동그라미 친 부분은 준 페르미 레벨의 기울기가 곧 홀 전류를 의미한다는 뜻이구요. 그렇다고 dFn/dx=0 이라고 Jn=0이라는 뜻은 아닙니다! 반도체의 equillibrium 상태에서도 전류는 흐르지만 J= Jn + Jf가 항상 일정하게 유지되어 있기 때문에 보이지 않는 것 뿐입니다.

      다음 포스팅부터는 PN접합을 다루도록 하겠습니다.