극한의 엄밀한 정의 예제 - geughan-ui eommilhan jeong-ui yeje

Posted on 2017-03-14 |

사실 이 주제를 수학과 이외의 학생이 굳이 다뤄야 할 필요성은 모르겠지만, 어쨌든 수업시간에 다뤘으니 한번 정리하고 넘어가려 한다. 대학교에 와서 처음으로 대학교 수학의 분위기가 전까지의 그것과는 상당히 다르다는 신호탄이 되는 파트이기도 하고.

극한이라는 주제는 사실 고등학교까지만 한다면 받아들이기 그다지 어려운 개념은 아니다. 를 어느 수로 ‘엄청’ 가까이 보낸다. 근데 그 수는 아니고, 진짜 ‘엄청’ 가깝게만 한다. 대충 이런 식으로 설명하는데, 수학자들 심기에 이 ‘엄청’이라는 표현이 맘에 들 리가 없다. 정확한 정도가 포함되지 않은 단어이기 때문이다. 그래서 등장한 게 이 논법이다. 결국, 극한을 엄밀하게 설명하기 위한 도구인 것이다. 정의부터 우선 보고 들어가자.

함수 가 에서 이라는 극한값을 가진다는 것은 다음을 뜻한다:

모든 에 대해, 를 만족하면 인 가 존재한다.

보통 이를 처음 본 사람들이 ???와 같은 반응을 보이는 이유는 이것이 왜 앞서 말한 극한의 대략적인 정의를 엄밀하게 한 것인지 직관적으로 와 닿지 않기 때문이다. 여기서 주목해야 할 점은 이 부분인데, 모든 에 대해라는것은 당연히 이 아주아주 작을 때를 염두에 둔 표현이다. 그러니까 축 위에 있는 주변으로 서서히 을 좁혀갈때, 항상 축 위의 근처로 적당히 만큼의 범위를 정하면 주변으로 항상 꽂아넣을수 있다는 이야기이다. 그러니까 결국 의 크기는 내 마음대로이다. 다음에 두가지 예가 있다.

이제 몇가지 예제를 다뤄 보자. 기]본적인 예제 하나와, Spivak에서 던져준 조금은 Tricky 한 예제 하나씩을 살펴보자.

Q: 을 증명하라.

A: 일때 이여야 하므로 로 둔다.

Q:함수 가 가 유리수일때 , 무리수일때 를 함수값으로 가진다고 하자. 아라면 함수 는 에서 극한값을 가지지 않음을 보여라.

A: 일떄를 생각하자. 반대의 경우에도 같은 논리가 적용 가능하다. 가 인 에 대해 이거나 를 만족하게 하는 를 설정 가능하다. 와 의 거리가 이기 때문에, 이 뭐던 간에, 주어진 모든 에 대하여 를 만족시킬수는 없다.