로그 밑변환 문제 - logeu mitbyeonhwan munje

로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

ax = b를 로그로 변환해보죠.
ax = b ⇔ logab = x   …… ①

ax = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 22, b = 23이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 33, b = 34니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 ax = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? logbb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 logba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 logba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 logab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log42
(2) log23 × log34

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

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로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

로그의 성질 두 번째예요. 로그의 성질 첫 번째는 로그의 정의를 이용해서 유도했어요. 로그의 성질 두 번째는 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 유도해요.

여기서 공부한 성질까지 합쳐서 로그의 성질 모두를 외워야 합니다. 이름만 성질이고, 실제 내용은 공식이에요. 로그의 성질을 알고 있어야 로그의 계산을 할 수 있어요.

로그의 계산은 단순한 사칙연산에 불과하니까 로그의 성질만 알고 있다면 금방 풀 수 있어요.

로그의 성질 두 번째

로그의 성질 네 가지를 공부했었는데, 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 새로운 로그의 성질을 유도할 수 있어요. 여기서도 네 가지를 유도해보죠.

밑과 진수에 모두 지수가 있을 때예요. c(c > 0, c ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 성질에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있었죠? 그것처럼 밑의 지수도 앞으로 가져올 수 있어요. 밑의 지수는 분모로, 진수의 지수는 분자로 가져와요.

로그의 성질에서 네 번째 성질과 비슷하니까 하나로 합쳐서 아래처럼 바꿀 수 있겠죠?

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, m, n이 실수일 때

이렇게 네 개는 꼭 외우세요.

이번에는 밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱해보죠.

밑과 진수가 바뀐 두 로그를 곱하면 1이에요.

지수에 로그가 있을 때 로그의 성질

처럼 지수에 로그가 있을 때도 있어요. 특히 지수의 밑과 로그의 밑이 a로 같아요.

= t라고 하고 양변에 a를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

네 번째 줄에서 두 로그의 값이 같을 때, 밑이 a로 같으니까 진수끼리도 같아야 해서 b = t이에요.

마지막 줄에서는 = t라고 했으니까 대입했고요.

결과는 지수의 밑과 로그의 밑이 같으면 진수만 남는다는 거예요.

이번에는 를 보죠. 이때는 지수의 밑은 a, 로그의 밑은 c로 서로 달라요.

= t라고 하고 양변에 c를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

두 번째 줄에서는 로그의 성질을 이용해서 진수의 지수를 로그 앞으로 내렸다면 다섯 번째 줄에서는 반대로 로그 앞에 있던 logca를 진수 b의 지수로 올렸어요.

마지막 줄에서는  = t라고 했으니까 대입했고요

생긴 게 좀 이상하죠? 지수에 있는 로그의 밑은 둘 다 c로 같은데, 지수의 밑과 로그의 진수가 서로 자리를 바꿨죠? 양쪽의 지수에 밑이 같은 로그가 있을 때는 지수의 밑과 로그의 진수를 서로 바꿔도 같다는 거예요.

로그의 성질 두 번째
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, m, n이 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log23 × log34
(2)

(1) log23 × log34
= log23 × log322
= 2 × log23 × log32
= 2

밑과 진수가 서로 바뀐 두 로그의 곱은 1이에요. 그래서 앞에 2만 남았어요.

(2) 밑과 진수가 바뀐 두 로그인데 곱이 아니라 덧셈이에요.

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