사다리꼴 넓이 대각선 - sadalikkol neolb-i daegagseon

이번 글에서는 사다리꼴 사각형의 넓이를 구하는 법을 알아보겠다.

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이 위키하우에 대하여
평행사변형 넓이 어떻게 구해?
사다리꼴의 넓이는 어떻게 구해?
삼각형의 넓이는 어떻게 구해?

공식

아래와 같은 사다리꼴을 예로 들어보자.

윗 변의 길이가 a, 밑 변의 길이가 b, 높이가 h인 사다리꼴이 있을 때 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식은

굳이 알파벳을 써가며 공식으로 쓰면 이렇게 표현되지만 그냥 간단하게 말하면 윗 변과 밑 변을 더한 값에 높이를 곱한 후 나누기 2를 하면 되는 것이다. 왜 이렇게 계산하면 넓이가 나오는 것일까?

유도 및 증명

사다리꼴에 아래와 같이 대각선을 그어보자.

점선을 기점으로 밑 변이 a, 높이가 h인 삼각형과 밑 변이 b, 높이가 h인 삼각형 2개가 만들어진다.

각각의 넓이를 S₁, S₂라고 한다면 각각의 삼각형 넓이는

이 삼각형 2개의 넓이의 합이 사다리꼴의 넓이가 되므로 합하면

이와 같은 공식이 만들어진다.

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사변형의 넓이를 구하라는 숙제를 받았는데 사변형이 무엇인지조차 몰라 당황스러운가? 걱정하지 마라! 이 글에 당신이 필요한 모든 도움이 있다! 일단 사변형에 대해 알아보자. 사변형이란 네 변을 지닌 도형(다각형)을 의미한다. 정사각형, 직사각형, 마름모 등이 모두 사변형에 속한다. 사변형의 넓이를 구하기 위해서는 먼저 사변형의 종류를 알고 그에 걸맞은 간단한 공식을 사용하기만 하면 된다. 진짜로 그게 끝이다!

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평행 사변형의 구분법 알기. 평행 사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 평행인 사변형을 의미한다. 이 평행하는 변의 길이가 같아야 한다는 점도 기억하자. 아래의 도형들이 모두 평행 사변형에 속한다:
- 정사각형: 변이 네 개인 도형, 모든 변의 길이가 같고 네 각이 모두 직각이다(90도).
- 직사각형: 변이 네 개이며 마주 보는 변의 길이가 같고 네 각이 모두 직각이다.
- 마름모: 변이 네 개이며 마주 보는 변의 길이가 같다. 이 도형은 모든 각도가 직각이 아니어도 된다. 대신 마주 보는 각도가 같아야 한다.
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직사각형의 넓이를 구하기 위해 가로와 세로 길이 곱하기. 직사각형의 넓이를 구하려면 가로와 세로의 두 가지를 알아야 한다(가로는 직사각형의 더 긴 변을 의미한다). 이제 두 길이를 곱하기만 하면 끝이다:
- 넓이 = 밑변 x 높이, 또는 A = b x h로 공식을 정리할 수 있다.
- 예시: 직사각형의 밑변의 길이가 10cm이고 높이의 길이가 5cm라면 직사각형의 넓이는 단순하게 10에 5를 곱한 50 cm 제곱이 될 것이다.
- 도형의 넓이를 구할 때는 제곱 단위(제곱 cm, 제곱 m, 제곱 km 등)를 써야 한다는 점을 꼭 기억하도록 하자.
3
정사각형의 넓이를 구하기 위해 한 변의 길이 제곱하기. 정사각형은 특별한 직사각형이라고 볼 수 있다. 따라서 같은 공식을 사용해 넓이를 구하는 것이 가능하다. 하지만 정사각형은 모든 변의 길이가 동일하기 때문에 공식을 한 변의 길이를 제곱하는 것으로 줄여볼 수 있다. 실제로 가로와 세로 길이를 곱하는 것이지만 가로와 세로 길이가 똑같기 때문에 같은 길이를 제곱하는 것과 같은 것이다. 아래 공식을 기억하자:[1]
- 넓이 = 한 변의 길이 x 한 변의 길이 또는 A = s2
- 예시: 한 변의 길이가 4cm인 정사각형이 있다고 가정해보자. 이 정사각형의 넓이는 간단히 42, 또는 4 x 4 = 16 제곱 cm가 될 것이다.
4
마름모의 넓이를 구하기 위해 두 대각선의 길이를 곱하고 2로 나누기. 마름모는 다른 사각형에 비해 주의를 기울일 필요가 있다. 마름모는 바로 옆에 있는 변끼리 곱해 넓이를 구할 수 있다. 마름모의 넓이를 구하려면 마주보는 점끼리 이어 만든 두 대각선의 길이를 곱하고 2로 나눠야 한다. 다음을 보자: [2]
- 넓이 = 한 대각선의 길이 x 다른 대각선의 길이/2 또는 A = (d1 × d2)/2
- 예시: 한 마름모의 두 대각선의 길이가 각각 6m와 8m라고 가정해보자. 그러면 이 마름모의 넓이는 간단하게 (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 제곱 미터로 나올 것이다.
5
마름모의 넓이를 구하기 위해 밑변과 높이의 길이를 곱해보기. 사실 마름모의 넓이는 밑변 x 높이로 구할 수 있다. 하지만 여기서 말하는 "밑변"과 "높이"를 곱한다는 것은 바로 옆에 있는 변끼리 곱한다는 의미가 아니다. 일단 한 변을 밑변으로 지정한 뒤에 마주보고 있는 변까지 수직인 선을 그어보도록 한다. 이 선은 두 변과 모두 직각을 이뤄야 한다. 이 선의 길이가 바로 높이가 된다.
- 예시: 마름모의 두 변의 길이가 각각 10km, 5km라고 가정해보자. 그리고 밑변을 10km인 변으로 생각했을 때 마주보는 10km 변까지의 수직 거리는 3km이다. 이제 넓이를 구하려면 단순히 밑변과 높이를 곱해 10 x 3 = 30 제곱 km를 계산하면 된다.
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마름모와 직사각형 공식이 정사각형의 넓이를 구할 때도 쓰일 수 있다는 사실 알기. 한 변의 길이를 제곱하는 정사각형 공식이 넓이를 구하는 가장 편한 방법이긴 하지만 정사각형은 직사각형과 마름모이기도 하기 때문에 두 사변형의 공식을 사용해도 똑같이 넓이를 구할 수 있다. 즉, 정사각형은 아래의 공식으로도 넓이를 계산할 수 있다는 뜻이다:
- 넓이 = 밑변 x 높이 또는 A = b x h
- 넓이 = (두 대각선 길이의 곱)/2 또는 A = (d1 x d2)/2
- 예시: 사변형의 서로 접한 두 변의 길이가 4m이다. 이 도형의 넓이는 밑변과 높이를 곱해: 4 x 4 = 16 제곱 m로 구할 수 있다.
- 예시: 정사각형의 두 대각선 길이가 10cm로 동일하다. 이 정사각형의 넓이는 대각선 공식을 사용해서 구할 수 있다: (10 x 10)/2 = 100/2 = 50 제곱 cm.
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사다리꼴이 무엇인지 알기. 사다리꼴은 사각형 중 한쌍의 대변이 평행인 것을 의미한다. 이 사각형의 각도는 꼭 직각이 아니어도 된다. 또한 네 변의 길이가 모두 다를 수 있다.
- 사다리꼴의 넓이는 주어진 정보에 따라 크게 두 가지 다른 방식으로 구할 수 있다. 아래를 읽고 그 두 가지 방법을 모두 배워보자.
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사다리꼴의 높이 찾기. 사다리꼴의 높이는 마주 보는 두 평행한 변 사이의 직선 거리를 의미한다. 이 길이는 보통 세로 변의 길이와 같지 않은데 이는 세로 변이 대각선 방향으로 틀어져 위, 아래 변과 직각을 이루고 있지 않기 때문이다. 두 가지 사다리꼴 넓이 공식에 이 두 정보가 모두 필요하니 반드시 높이 길이를 구하도록 하자:[3]
- 마주 보고 있는 두 평행한 변 중 더 짧은 것을 선택해 다른 변과 만나는 점으로부터 아래로 수직선을 그어보도록 하자. 그러면 평행한 변 중 아래쪽 변과 직각을 이루는 선이 그어질 것이다. 이 선의 길이를 측정하면 높이를 구할 수 있다.
- 가끔은 삼각법을 이용해 밑변과 높이, 세로 변이 직각 삼각형을 이루는지 확인해볼 수도 있다. 삼각법으로 직각 삼각형을 확인하는 법에 대해 찾아보자.
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평행한 변의 길이와 높이를 사용해 사다리꼴의 넓이 구하기. 평행한 두 변의 길이와 높이를 모두 알고 있다면 다음 공식을 사용해보자:
- 넓이 = (평행한 변의 길이 1 + 평행한 변의 길이 2)/2 x 높이 또는 A = (a+b)/2 x h가 된다.
- 예시: 평행한 두 변의 길이가 각각 7m, 11m, 두 변과 수직한 높이 길이가 2m인 사다리꼴이 있다고 가정해보자. 이 사다리꼴의 넓이는 (7 + 11)/2 x 2 = (18)/2 x 2 = 9 x 2 = 18 제곱 m가 된다.
- 높이가 10이고 평행한 두 변의 길이가 7과 9라면 간단하게 아래처럼 넓이를 구할 수도 있다: (7 + 9)/2 * 10 = (16/2) * 10 = 8 * 10 = 80
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중점을 연결한 선에 2를 곱해 사다리꼴의 넓이 구하기. 사다리꼴 두 옆 변의 중점을 연결한 선은 자동적으로 위와 아래 변과 평행을 이루게 되며 항상 위와 아래 변의 길이를 합한 것의 절반 길이가 된다. 따라서 이를 이용하면 아래처럼 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있다:
- 넓이 = 중점선의 길이 x 높이 또는 A = m x h
- 이는 기존 공식과 동일한 공식이며 (a + b)/2 대신에 중점선의 길이인 "m"을 사용한다는 부분만 다르다.
- '예시:' 사다리꼴의 중점을 연결한 선의 길이가 9m라고 한다면 다음처럼 넓이를 구할 수 있다. 9 x 2 = 18 제곱 m. 이전 공식과 똑같다.
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가오리 연 모양 사각형이 무엇인지 알기. 연 모양 사각형은 이웃하는 두 변의 길이가 같은 사각형을 의미한다. 서로 마주보는 변이 아니다. 그리고 이 사각형을 가오리 연 사각형이라고 부르는 이유는 생긴 모양이 연처럼 생겼기 때문이다.
- 주어진 정보에 따라 두 가지 다른 방식으로 연 모양 사각형의 넓이를 구할 수 있다. 아래를 읽고 두 가지 방법을 모두 배워보자.
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마름모의 대각선 공식을 이용해 연 모양 사각형의 넓이 구하기. 마름모는 옆 면의 길이가 같은 특별한 형태의 연 모양 사각형이라 할 수 있다. 따라서 대각선 공식을 사용해 연 모양 사각형의 넓이를 구하는 것이 가능하다. 다시 강조하자면 대각선은 연 모양 사각형의 마주보는 점을 이은 두 선을 의미한다. 이제 공식을 살펴보자:
- 넓이 = (대각선 길이1 x 대각선 길이2)/2 또는 A = (d1 x d2)/2
- 예시: 연 모양 사각형의 대각선 길이가 각각 19m, 5m라고 가정해보자. 그러면 단순히 (19 x 5)/2 = 95/2 = 47.5 제곱 m로 답을 구할 수 있다.
- 대각선의 길이가 주어지지 않았으며 길이를 측정하는 것도 불가능하다면 삼각법을 이용해 알아내볼 수 있다. 더 자세히 알아보고 싶다면 연 모양 사각형(카이트)의 넓이를 삼각법으로 구하는 법에 대해 찾아보도록 하자.
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이웃한 변의 길이가 사이 각도를 이용해 넓이 구하기. 두 옆 변의 길이를 다 알고 있고 두 변 사이각을 알고 있다면 삼각법을 적용해 연 모양 사각형의 넓이를 계산해낼 수 있다.[4] 하지만 이 방법을 수행하려면 사인 함수를 사용할 줄 알거나 적어도 사인 함수 기능이 들어간 계산기가 있어야 한다. 직각 삼각법에 대한 정보를 더 찾아보거나 아래 공식을 사용해보자:
- 넓이 = (변 1의 길이 x 변 2의 길이) x sin (사이각) 또는 A = (s1 x s2) x sin(θ) (θ는 변 1과 변 2 사이의 각도를 의미한다).
- 예시: 두 변의 길이가 각각 6m, 4m이고 그 사이각이 120도인 연 모양 사각형이 있다고 가정해보자. 그러면 다음과 같이 넓이를 구해볼 수 있다: (6 x 4) x sin(120) = 24 x 0.866 = 20.78 제곱 m.
- 길이가 같은 변을 사용할 수 없으며 무조건 길이가 다른 두 변과 그 사이각을 이용해야 한다는 점을 기억하자.
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모든 변의 길이 구하기. 사변형이 위에서 언급한 종류의 사변형에 속하지 않는다면(네 변의 길이가 모두 다르고, 평행한 변이 하나도 없다면) 어떻게 할까? 놀랍게도 모양과 무관하게 넓이를 구할 수 있는 공식이 존재한다. 여기서는 가장 흔한 공식에 대해서만 배워보도록 하겠다. 다만 이 공식은 삼각법에 대한 지식이 필요하니 먼저 인터넷에서 이를 찾아 배워보고 아래를 읽어보는 것이 이해에 도움이 될 것이다.
- 먼저 사변형의 네 변의 길이를 모두 알아내도록 하자. 네 변을 각각 a, b, c, d라고 이름붙여보자. a와 c가 서로 마주 보고 b와 d가 마주 보게 하자.
- 예시: 위에서 언급한 유형에 속하지 않는 이상하게 생긴 사변형이 주어졌다면 먼저 네 변의 길이를 측정하도록 하자. 그리고 측정한 길이가 각각 12, 9, 5, 14cm라고 가정해보자. 이제 이 변의 길이들을 이용해 사변형의 넓이를 구할 것이다.
2
a와 d, 그리고 b와 c사이 각도 구하기. 불규칙적인 형태의 사변형을 다룰 때는 변의 길이만 가지고는 넓이를 구할 수 없다. 각도도 알아야 한다. 이 단계에서는 변 a와 d의 사이각 A와 변 b와 c의 사이각 C를 이용할 것이다. 물론 다른 쪽 각도를 이용해도 된다.
- 예시: 사변형의 각 A가 80도이며 각 C가 110도라고 가정해보자. 다음 단계에서 이를 이용해 넓이를 구하게 될 것이다.
3
삼각형 넓이 공식을 사용해 사변형의 넓이 구하기. 변 a와 b 사이의 점에서 변 c와 d 사이 점까지 연결된 선이 있다고 상상해보자. 그러면 그 선이 사변형을 두 개의 다른 삼각형으로 나눌 것이다. 그리고 삼각형의 넓이는 absinC이다. 각도 C는 변 a와 b 사이각이라는 점을 기억하자. 삼각형이 총 2개이므로 이 공식을 두 번 사용해 합치면 사변형의 넓이가 나온다. 즉, 그 어떤 사변형이던 아래 방법을 사용하면 넓이를 구할 수 있다는 뜻이다:
- 넓이 = 변 1의 길이의 절반 x 변 4의 길이 x sin(변 1과 변 4 사이의 각) + 0.5 x 변 2의 길이 x 변 3의 길이 x sin (변 2와 3 사이각) 또는
- 넓이 = 0.5 a x d x sin A + 0.5 x b x c x sin C
- 예시: 모든 필요한 변과 각도를 알고 있다면 계산만 하면 된다: = 0.5 (12 x 14) x sin (80) + 0.5 x (9 x 5) x sin (110)= 84 x sin (80) + 22.5 x sin (110)= 84 x 0.984 + 22.5 x 0.939= 82.66 + 21.13 = 103.79 제곱 cm.
- 평행 사변형의 넓이를 구하려고 할 때는 마주보는 각도의 값이 같기 때문에 공식이 다음처럼 단축될 수 있다: 넓이 = 0.5*(ad + bc) * sin A.
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