안녕하세요, 분당 수학학원 이티아이수학학원입니다. 오늘은 어느덧 다시금 월요일이 찾아왔습니다. 주말을 보내고 나면 새로운 마음으로 시작해야 하는 한 주, 상쾌하고 좋은 마음으로 시작하고 계시는지 궁금해지는 마음입니다. 모쪼록 이번 한 주도 행복하고 뜻 깊은 시간이 되시길 바라면서, 오늘 분당수학학원에서는 재미있는 이야기를 하나 들려드릴까 합니다. 문이과를 통틀어 미적분을 배우는 것은 교과과정에 포함이 되어 있습니다. 하지만 미적분, 어렵고 복잡하기만 하고 왜 배워야 하는지를 모르겠다는 반응인 학생들 또한 많은 것이 사실이죠. 하지만 미적분도 실생활에 활용되는 예제가 많이 존재한다는 사실을 알고 계십니까? 오늘 이티아이에서는 미적분 실생활 활용 예시를 통해 여러분께 유용한 정보를 전달해보고자 합니다. 지금부터 주목해주시기 바랍니다.
 우선 의외로 미적분 실생활 활용 예는 예상 외로 많이 만나볼 수 있습니다. 수능으로 가는 기본 교과과정으로만 인식되었던 미적분, 실생활 속에서 어떻게 활용되고 이용되고 있을지 지금부터 설명해드리겠습니다. 실생활에 적용되는 예를 알아보기에 앞서, 미분과 적분에 대한 기본 설명이 빠질 수가 없을 것 같습니다. 미분은 움직이고 변화하는 대상의 "순간적인 변화"를 설명합니다. 미분은 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 발견해 체계화된 수학 교과의 일종입니다. 또한 적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것을 말합니다. 이 두 가지 공식 모두 눈에 띄게 실생활에 많이 적용이 되어 있습니다. 어떤 것들을 꼽을 수 있는지 하나씩 차근차근 설명해드리도록 하겠습니다.
미분은 "순간적 변화"를 설명하는 도구이니 만큼, 달리고 있는 사람의 속력 변화나 따뜻한 음료가 식어갈 때의 온도 변화, 그리고 지구 주변을 도는 행성의 움직임 등, 계속해서 변화하는 현상을 표현할 수 있습니다. 즉 계속해서 변화해 가는 일정한 값을 구할 때 미분의 실생활 적용이 가능해지는 것입니다. 또한 미분은 영화에서도 쉽사리 적용된 사례를 만나볼 수 있습니다. 가장 먼저 소개해드릴 영화는 픽사의 대표작 "토이스토리"입니다. 도대체 어디에 미분이 적용되었을까 궁금해하시는 분들이 많을 텐데, 작가들이 그린 그림을 미분공식으로 수식화해 수작업 시간을 줄어들게 하는 "제작방법"에 그 비밀이 있었습니다. 수식화된 그림의 경우 크기가 변화하거나 동작의 변화가 생겨도 선이 어떻게 이어질지 예측이 가능하다고 합니다. 따라서 그림을 하나만 그리더라도 다양한 그림과 움직임을 표현할 수 있게 된 것이죠. 애니메이션에 이러한 미분 공식을 제공하게 되면, 제작기간과 제작 비용을 아낄 수 있다는 장점이 있죠. 이 밖에도 유체운동 방정식을 활용한 컴퓨터 그래픽을 표현한 "캐리비안의 해적"이나 기타 CG가 필요한 영화 등에서도 미분 공식은 다양하게 적용되고 활용되고 있습니다. 따라서 컴퓨터그래픽이나 프로그래밍 쪽에 관심이 있으신 분들은 업무적 활용도나 실생활 적용 부분에서 미분 공식을 익혀두시는 것이 훨씬 더 좋다는 사실을 기억해두시면 좋을 듯합니다. 이것으로만 그치는 것이 아닙니다. 앞서 설명드린 "순간적 변화"에 대한 실생활 적용 부분은 생각 외로 방대합니다. 야구를 좋아하시는 분들은 익히 아시겠지만 투수가 던지는 공의 속도로 순간변화율을 측정해 선수별 능력치를 파악하는 기준도 있습니다. 기록 경신을 위한 운동 선수들의 노력이 가중되고 있죠? 선수의 에너지 효율을 극대화해야만 기록 경신을 향해 나아갈 수 있습니다. 운동의 효율성을 높이는 의상이나 기구등이 만들어지는 이유는 이 때문입니다. 운동의 효율성을 높이는 제품을 만들기 위해서는 시간에 따른 선수의 속도 변화 및 선수의 움직임에 따른 환경의 저항과 변화 등을 수학적으로 표현할 수 있어야 합니다. 따라서 운동선수들의 저항을 극소화하기 위한 복장이나 기구등을 만들 때에는 미분의 역할이 두드러지고 있습니다. 또한 과속 차량을 단속하는 카메라나 도로 경찰관들을 많이 보셨을 것 같습니다. 자동차의 과속을 단속하는 무인 단속 카메라의 경우, 대부분 자동차가 카메라 앞을 지나는 순간의 속도를 측정합니다. 카메라 앞에서만 감속을 진행하면 된다고 생각하는 이들도 많겠지만, 자동차가 카메라의 앞에 10m 정도의 간격으로 설치된 감지선을 지나는 데 걸리는 시간을 측정하고 그 사이를 지나는 속도를 계산해 과속을 판단하기 때문에, 이는 완벽한 오해라고 할 수 있죠. 무인 단속 카메라의 원리를 살펴보면 구간의 폭이 0에 가까워짐에 따라 해당 구간에서의 평균 속도는 순간 속도에 가까워진다는 미분의 원리를 떠올려볼 수 있습니다. 또한 포토샵에서도 미분의 원리를 만나볼 수 있습니다. 사진의 얼굴 윤곽 부분에서 얼굴과 배경을 경계로 밝기가 완전히 다른 지점을 발견할 수 있다면, 어디서부터 얼굴 윤곽인지 파악하고 해당 영역을 자동으로 "선택"할 수 있는데, 이 때 사용되는 것 또한 미분입니다. 건축학에서도 미분의 실생활 적용 사례를 많이 만나볼 수 있습니다. 곡선의 접선을 이용해 안전한 도로 설계를 기반할 수 있기 때문입니다. 자동차가 곡선 도로를 빠져나와 직선 도로에 진입할 때, 운전자가 안전하게 진입할 수 있기 위해서는 수학적 원리에 따른 도로 설계가 필요합니다. 곡선 도로 위를 달리는 자동차는 곡선의 접선 방향으로 나아가려는 성질이 있습니다. 곡선 도로가 끝나는 지점에 연결되는 직선 도로가 곡선 도로의 접선이 되어야 안전한 진입이 가능합니다. 설계에 사용되는 공식이 바로 미분인 것입니다. 뿐만 아니라 움직임이나 상태 변화를 이해하는 수학적 도구로 미분은 실생활에 많이 활용되고 있습니다. 경기나 물가의 변동, 기업의 생산성과 증감, 인구수 변화 등에도 미분의 원리는 적용되고 있으며, 계절의 변화에 따른 온도 변화는 물론 밀물과 썰물에 따른 해수면 높이의 변화, 금융 상품의 손익을 관찰하고 매매 전략을 수립하는 것, 움직이는 물체의 속도와 가속도를 구해내는 것, 에어컨을 설정된 온도에 맞추어 작동하도록 할 때, 빵을 굽는 오븐의 온도를 일정하게 유지해야 할 때 등의 우리 주변의 수많은 현상들에 적용된 미분이라고 할 수 있겠습니다.
다음은 적분의 실생활 적용 예시를 살펴볼 차례입니다. 앞서 설명해드렸던 것처럼, 적분은 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 것에서부터 시작된 수학공식이라고 합니다. 적분의 실생활 적용 예를 거슬러 올라가면, 적분의 시초를 살펴볼 수 있습니다. 17세기 초, 천문학자인 케플러는 포도주 통을 보며 고민했습니다. 당시에는 포도주 통에 채워져 있는 포도주의 높이만큼 값을 받을 수 있었는데, 중간이 불룩한 포도주 통의 특성 상 실제 양과 높이가 정확히 비례하지 않았던 것이죠. 그래서 생각해낸 대안은, 입체도형을 무수한 단면으로 나누어 모두 더하는 것이었습니다. 이것이 바로 적분의 시초가 되었습니다. 정리하자면 적분은 결국 실생활에 필요한 부분을 좀 더 명확하고 편안하게 구해내기 위해 고안된 수학적 방식인 것입니다. 직선이 아닌 곡선이나 곡면으로 이루어진 대상들의 길이와 넓이, 부피를 간편하게 구할 수 있는 법, 실생활에서부터 시작된 적분의 시초인 셈이지요.
적분 역시 우리의 일상에서 아주 쉽사리 만나볼 수 있습니다. 적분은 우주 항공 쪽에서도 자주 사용됩니다. 로켓 발사 후 지상으로부터의 로켓의 높이를 구해 보도하는 등, 언론에서 로켓 발사와 관련해 자주 보도되는 사항들을 접해본 바가 있을 것입니다. 이 또한 적분을 적용해 구해내는 값이라고 할 수 있겠습니다. 적분은 복잡한 곡선으로 싸인 부분을 얇게 썰어 계산하는 방식을 추구합니다. 그렇기 때문에 CT 촬영이나 의학 기술 상으로도 적용된 부분이 많습니다. 원리를 말씀 드리자면, 터널처럼 "둥근" 기계에 들어갔다 나오면 무수한 개수로 나뉘어진 단면영상이 재구성되어 3차원적으로 인체 내부를 구현할 수 있게 되는 것이죠. 컴퓨터 단층 촬영인 CT는 일반촬영으로 나타낼 수 없는 각 신체의 단층면을 나타내는 영상 장치입니다. 인체의 여러 각도에서 투과한 x선을 컴퓨터로 측정하고, 인체의 단면에 대한 흡수치를 재구성해 원하는 신체 부위를 2차원이나 3차원 영상으로 나타내 주는 단층 촬영 기기인 것입니다. 이 때 재구성하는 과정에서 구분구적법의 개념이 이용됩니다. 촬영된 한 장 한장의 영상을 컴퓨터를 이용해 합성하기 때문에 5mm 이하의 아주 작은 조직의 밀도 차이도 구별할 수 있고, 질병의 조기 진단이나 구성 성분등을 확인할 수 있게 되는 것이죠. 또한 심장의 건강 상태를 알아보는 심장출량을 측정하는 데도 활용됩니다. 단위 시간당 심장 박동에 의해 심장 밖으로 내보내는 혈액의 양을 말하는 심장출량은, 염료희석법이 많이 이용되는데, 염료로 사용되는 인도시아닌 그린 등의 추적 물질을 희석하는 방식입니다. 이때 적분을 활용해 주입되는 염료의 양과 염료과 없어지는 데 걸리는 시간을 계산하고, 대동맥에서 감지되는 염료의 농도를 계산해 최종 심박출량을 계산합니다. 스포츠 분야에서나 항공 분야에서도 적분의 역할이 대두됩니다. 2012년 한 극한 스포츠 전문가는 지상으로부터 39km 높이의 성층권에서 뛰어내린 후 4분 19초 동안 자유 낙하해 마하의 시속에 도달한 후 낙하산을 펼쳐 4분 40초에 걸쳐 지상으로 내려왔습니다. 이로써 그는 지상으로부터 9.7km 정도의 높이에서 음속인 시속 1082km를 돌파한 기록을 세우게 되었죠. 이 때 음속을 돌파한 순간의 높이는 낙하 속도를 이용해 계산한 것입니다. 이와 같이 어떠한 변수에 따라 변하는 양의 변화율로부터, 그 양 자체를 알아내야 하는 경우가 존재합니다. 이 때는 미분과는 반대로 적분이 적용되고 있습니다. 건축학 분야에서도 적분이 이용됩니다. 아까 도로공사에 관련된 내용으로 미분의 실생활 적용을 알려드렸다면, 이번엔 토목 공사에 활용되는 적분의 예를 알려드리겠습니다. 도로나 철도, 공항 같은 사회 기반 시설은 우리의 삶을 더욱 편리하게 만들어줍니다. 이러한 사회 기반 시설은 주로 대규모 토목 공사를 통해 만들어지죠. 토목 공학은 수학과 물리학 등 여러 학문을 응용해 사회 기반 시설을 과학적이고 합리적으로 현실화시킬 수 있는 대표적인 응용과학이라고 할 수 있습니다. 토목공학에는 적분이 굉장히 많이 활용되는데, 예를 들어보자면 오랜 세월에 걸쳐 자연 상태의 땅에 곧게 뻗은 도로를 건설할 경우는 적분의 개념을 이용한 설계를 합니다. 울퉁불퉁한 원래 땅의 일부는 깎아내야 하며, 일부는 쌓아야 평평한 도로를 조성할 수 있겠죠? 뿐만 아니라 완성된 도로의 계획 높이가 너무 낮으면 흙이 남아서 멀리까지 갖다버려야 하는 수고가 생기며, 반대로 너무 높으면 흙이 모자라 멀리서부터 흙을 옮겨와야 합니다. 이때 적분의 개념이 활용되는 유토곡선을 이용한다면 최적화된 도로의 계획 높이를 결정할 수 있고 흙을 옮기는 운반 장비의 종류와 운반 거리 등을 결정지을 수 있습니다. 적분은 이처럼 순수수학은 물론이고 물리학이나 의학, 사회학과 컴퓨터그래픽 영역까지 다양하게 활용되고 있습니다. 이처럼 미분과 적분은 생각 외로 실생활에 적용되는 예제가 광범위한 편입니다.
아마 많은 학생들이 미적분 영역을 배울 때 어렵기만 하고 실생활에 적용도 안 되는 수학을 왜 "수능을 위해" 배워야 하느냐는 고민에 휩싸이곤 하실 것 같습니다. 하지만 모든 학문은 실제로 생활에 도움이 되는 부분이 많습니다. 실용성 높은 영역이니만큼, 미래를 위한 선택에 보다 도움이 될 수 있는 학문이라는 생각으로 조금 더 정진하셨으면 하는 바람입니다. 오늘 분당 수학학원 이티아이에서는 이처럼 미적분 실생활 활용 예시에 대해 설명해드리는 시간을 가져봤습니다. 학생 여러분들께 보다 도움이 되는 정보였기를 바라면서, 앞으로도 더욱 재미있고 유익한 소식을 알려드리기 위해 노력하는 분당 수학학원이 되도록 하겠습니다. 모두들 행복한 한 주의 시작 되시길 기원합니다. https://blog.naver.com/sjh3353110/221661963872 🔽ETI수학학원 유튜브 채널 링크 주소🔽 분당 수학학원 eti - YouTube 유튜브 채널에 분당구 내신 기출과 모의고사, 자이스토리 풀이영상이 업로드 되어있습니다 필요하신 분들은 들어가셔서 보시고, 공부하는 데 도움이 되었으면 좋겠습니다 :) 첨부된 풀이영상 관련 질문은 받지 않습니다. 감사합니다 |
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