인디펜던트 보도에 따르면 미국의 국가 표준기관인 표준기술연구소(NIST) 제임스 츤-원 처우 박사팀은 원자시계를 이용해 시간을 비교 측정한 결과 고도가 높을수록 시간이 빨리 흐르는 것으로 나타났다고 과학 학술지 ‘사이언스’에 최근 발표했다. Show 원자시계는 전기장 속에 있는 알루미늄 원자의 미세한 진동을 기준으로 시간의 흐름을 측정하는데, 지금까지 개발된 시계 가운데 가장 정확하게 시간을 측정할 수 있다. 원자시계의 오차는 37억년에 1초 미만에 불과할 정도로 정확하기 때문에 아인슈타인이 예상했던 대로 고도에 따라 시간이 달리 흐르는 미세한 차이를 확인할 수 있었다고 연구팀은 설명했다. 이번 연구 결과에 따르면 사는 곳의 위치가 매 1피트(30.5㎝) 높아질 때마다 일생(평균 79년으로 가정)에 걸쳐 10억분의 90초씩 더 빨리 나이를 먹는 것으로 파악됐다. 연구진은 또 빠르게 우주를 여행하는 것과 유사한 조건에 있는 원자시계가 지상에 있는 시계보다 더 느리게 간다는 것도 확인했다. 이는 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 설명하기 위한 사고(思考)실험인 ‘쌍둥이의 역설’을 실제로 입증한 것이다. 쌍둥이 역설이란 쌍둥이 중 1명이 빠른 속도로 우주여행을 다녀온다면 지구상에 계속 머물러 있던 다른 1명보다 나이를 천천히 먹게 된다는 것이다. 과학 저술가인 마커스 초운은 이번 연구와 관련 “상대성이 이론이 일상생활과 무관하며 소수만을 위한 난해한 과학이라는 고정관념을 깨고, 단지 한 발짝만 높은 데 살더라도 더 빠르게 늙는다는 사실을 생생하게 입증했다”고 평가하고, “이번 연구 결과는 오래 살고싶다면 (펜트하우스가 아니라) 방갈로를 사라는 메시지를 준다”고 말했다. 한편 아인슈타인이 자신의 직장인 베른의 특허사무소에 앉아 있던 중 갑작스럽게 떠오른 생각이 중력과 가속도에 대한 이론을 발전시키는 시발점이 됐다고 신문은 전했다. 그는 “갑자기 이런 생각이 떠올랐다. 자유낙하를 하는 사람이 있다고 가정하면 그 사람은 자신의 몸무게를 느끼지 않게 된다. 나는 깜짝 놀랐다. 이 간단한 사고실험은 나에게 깊은 인상을 남겼다”고 1907년 기록했다. 즉 ∑v=v1+v21+v1v2c2\sum v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \dfrac{v_1v_2}{c^2}}∑v=1+c2v1v2v1+v2이기 때문. 특수 상대성 이론의 결론은 다음과 같이 대략 요약할 수 있다.
4. 가정[편집]특수상대성이론의 요지는 딱 두 가지다. 상대성 원리와 광속 불변의 원리. 4.1. 상대성 원리[편집]☞ 상대성 원리 : [16] 짧게 말하자면 두 관성 좌표계에서 물리 법칙들은 똑같이 적용이 된다는 것이다. 이것을 완전히 이해하려면 관성 좌표계가 무엇인지 이해하는 것이 필요하다.[17]
4.2. 광속 불변의 원리[편집]☞ 광속 불변의 원리 : 어떤 속력이 존재하여, 한 관성 좌표계에서 이 속력을 가지고 운동하는 것으로 관측된 물체는 다른 관성 좌표계에서도 그 속력으로 운동하는 것으로 관측된다는 말이다. 통상 이 속력을 빛의 속도라고 표현하고 수식에서는 ccc로 표기된다.
5. 로런츠 변환과 로런츠 불변성[편집]로런츠 변환은 갈릴레이 변환의 대체물이며, 로런츠 불변이라고 하면 사실 이 로런츠 변환에 대하여 불변이라는 뜻이다. 사실 우리가 아는 특수상대론에 대한 괴상한 이야기들은 전부 이 로런츠 변환에서 온 것. 하지만 물리학에서 로런츠 불변성이 갖는 의미는 생각보다 크다. 상대성 원리를 확장시킴과 동시에 엄청나게 강화시킨 셈. 6. 축약과 내적, 기하학적 해석[편집]한편으로 축약은 기하학적으로 스칼라 곱 혹은 내적과 같은 것으로 볼 수 있다. 3차원 유클리드 공간에서 두 벡터의 내적은 v⃗⋅w⃗=∑i=13viwi\vec{v} \cdot \vec{w} = \sum_{i = 1}^3 v_i w_iv⋅w=∑i=13viwi로 주어지는 것임을 안다. 이 식은 사실 이렇게 쓸 수 있다. 7. 로런츠 불변성의 예[편집]특수상대성이론의 특수란 말은, 이 이론이 등속도로 운동하는 관측자가 보는 경우에 한정된 특수한 이론이라는 의미다. 7.1. 시간 지연[편집]7.2. 길이 수축[편집]7.3. 질량-에너지 동등성[편집]8. 역설[편집]당연히 이해하기가 약간 힘든 이론인지라, 상당히 많은 역설들이 나와 반대하는 데 쓰이기도 하고 그냥 이론의 포스를 보여주려(!) 만들어진 역설들도 상당히 많다. 8.1. 쌍둥이 역설[편집]8.2. 막대와 헛간 역설[편집]8.3. 에렌페스트 역설[편집]정지해 있는 강체 원판이 존재하여, 그 외부의 정지된 관측자 A와 원판 위에 고정된 관측자 B가 존재한다고 하자. 8.4. 컨베이어벨트 역설[편집]9. 여담[편집]흔히 알려져 있는 것과 달리, 특수 상대성 이론이 발표되었던 당시의 사람들은 상대성 이론을 그 이론의 난해함 때문이 아니라 전제와 결론의 기묘함 때문에 쉽게 받아들이질 못했다. "물체의 속도가 빨라질수록 길이가 짧아지고 무거워진다"는 소리를 "운동 상태와 관계없이 광속은 일정한 속도로 관찰된다"는 전제에서 이끌어 내는 이론을 직관적으로 이해하고 받아들일 수 있는 사람이 얼마나 될까? 10. 고등학교 교육과정에서[편집]
11. 관련 문서[편집]
[1] 값이 다를 수는 있다. 예컨대 중력 가속도나 지구 자전에 의한 효과는 지역마다 다를 수 있고 심지어 달과 지구의 중력은 다르다. 우주 공간은 말할 것도 없고 그래도 중력 법칙 자체는 바뀌지 않는다.[2] QED의 창시자인 그 유명한 리차드 파인만은 이런 식으로 QED를 평했다. 이건 마치 위성 궤도에서 지상의 개미를 정확하게 관찰하는 것과 같은 정확도라고 한다.[3] 다만 특수 상대성 이론과 잘 맞는 변환이어야 한다. 등가 원리가 이 기준을 마련해 준다.[4] 아래에 서술되어 있듯이 GPS 계산에 상대론적 효과를 고려하지 않으면 오차가 꽤 커진다.[5] 슈뢰딩거 방정식은 비상대론적인 방정식으로, 지금도 많이 쓰인다. 물론 저 깊은 영역에서는 쓰이지 못하지만.[6] 어디까지나 수정이다. 뇌터 정리를 고려하면 사실상 보존법칙이 먼저인 셈이다. 당장 뉴턴도 정확히는 F=maF=maF=ma가 아닌 F=dPdt=d(mv)dtF = \dfrac{dP}{dt} = \dfrac{d(mv)}{dt}F=dtdP=dtd(mv)이나 (여기서 PPP는 운동량이다.) mmm이 불변량이므로 가속도 dvdt\dfrac{dv}{dt}dtdv를 aaa로 치환한 것뿐이다.[7] 스피너 같은 특이한 케이스는 일단 넘어가자.[8] 수학에서 말하는 텐서와는 다르다. 하지만 물리에서 말하는 텐서의 추상화 버전이 결국 수학에서의 텐서. 그렇다기에는 수학에서 텐서가 차지하는 위상이 엄청나게 크기는 하다. 일단 텐서 대수학(tensor algebra)이 자유 대상(free object)들 중 하나라는 것만 봐도 더 이상 말할 필요가 없다.[9] 값이 불변이라는 뜻이 아니다. (스칼라에겐 해당되는 얘기지만.) 형태가 불변이라는 뜻인데, 이마저도 오해의 소지가 있다. 제대로 알려면 적어도 학부 과정의 수리물리학 과목을 이수해야 하는데, 이것도 초보적인 수준이다.[10] 여기서 가정이란 공리로 받아들이는 것이다. 즉 상대성이론은 아래 두 명제를 주춧돌로 하여 모든 것을 설명한다는 것이다. 만약 2가지의 원리, 즉 공리 중 하나라도 수정해야 한다면, 그 수정 공리를 발견한 사람은 뉴턴을 물리학의 왕좌에서 끌어내린 아인슈타인과 같이 아인슈타인을 왕좌에서 끌어내릴 수 있을 것이다![11] 등속직선운동하는 버스에서 공을 위로 던져보자. 던진 사람에게는 위로 올라갔다가 아래로 떨어지지만, 버스 밖의 정지한 사람에게는 포물선을 그리는 것처럼 보인다. 하지만 두 공에는 모두 F=maF=maF=ma. 같은 물리 법칙이 동일하게 적용된다.[12] 실제 계산에서는 (허수축인 3차원 공간+실수축인 1차원 시간)과 (실수축인 3차원공간+허수축인 1차원시간)의 차이가 없다.[13] 이것을 질량이 늘어난다고 과거에는 해석을 했었으나 요즘 물리학계에서는 질량은 전하처럼 물체의 변하지 않는 속성으로 해석하기 때문에 더이상은 상대론적 질량이라는 말을 사용하지 않는다. 실제로 입자가속기 등에서 입자를 광속에 가깝게 가속시켰을 때 질량이 늘어났는지는 알 수 없다. 왜냐면 움직이는 물체의 질량을 잴 방법이 없기 때문이다. 우리가 측정하는 것은 운동량의 변화뿐이다.[14] A와 B의 상대적인 관측을 비교했을 때, 결과를 물을 수가 없다. 둘이 만나기 위해서는 광속으로 이동한 A가 B와 만나야 하는데, A가 되돌아오기 위해서는 '가속' 해야한다.[15] 사실 저 두 원리를 만족하는 4차원 벡터 장을 만들어내면 튀어 나오는 게 바로 맥스웰 방정식이다! 물론 이 사실이 두 원리를 거부하였을 때 맥스웰 방정식이 부정된다는 걸 지지하는 건, 논리적으로 전혀 아니지만, 어쨌든 상당히 강력한 근거임은 분명하다. 아니, 일단 과거의 뉴턴 역학이 전자기학과 대립하던 상황을 생각해 보자.[16] 상대성 이론과 다른 거다. 하지만 상대성 이론의 핵심 개념. 이걸 제대로 다루기 위해 상대성 이론이 있다고 봐도 되겠다.[17] 진짜 쉽게 설명하자면, 정지,또는 등속운동하는 관찰자의 속도와 무관하게,그 관찰자의 속도를 구별(인식)시켜주는 물리 법칙이 없다.너는 네 속도를 알 방법이 없다![18] 물론 지자기라든가 중력의 영향 같은 것을 무시한다든가 관계 없는 실험이라든가 해야 한다. 그래서 맨 처음 가정이 주변에 지구도 태양도 아무것도 없는 텅 빈 우주 공간에 실험실에 놓여 있다는 것이었다.[19] 이런 상황에서 '절대 좌표계'라느니 '절대 속도' 같은 말은 그 가치를 상실해 버린다. 오로지 물리적으로 의미 있는 것은 (관성) 좌표계 간의 변환에도 그 모양이 변하지 않는, 즉 불변하는 것들인데, '절대' 같은 것들은 이런 것에 해당되지 않기 때문이다.[20] 시간축 방향으로 이동한 양(cdtcdtcdt)의 제곱과, 공간 축에서 이동한 거리의 제곱의 크기가 서로 같다[21] 부호가 반대, 즉 -1, 1, 1, 1로 놓을 수도 있다. 바뀌는 건 거의 없다. 물리적인 거는 아예 없고 성가신 부호 차이만 날 뿐인데, 문제는 이 두 가지 방법이 지금까지도 잘 쓰인다는 것이다. 입자 물리학에서는 본문의 부호를, 우주론에서는 이 주석의 부호를 흔히 쓴다.[22] 회전이라는 기하학적인 아이디어는 아인슈타인 본인의 생각이 아니었다. 민코프스키에 의해 4차원 시공간이 정립되었고 바일(Weyl) 등에 의해 로런츠 변환의 기하학적 그리고 대수학적 해석이 덧붙여진 것이다. 심지어 아인슈타인은 처음에 이 아이디어를 접하고 나서 별로 좋아하지 않았다고 한다.[23] 사실 하나 더 있다. 계속 회전 얘기만 했지만 시간+공간에 대한 평행 이동에 대한 불변성도 필요하다. 로런츠 변환과 평행 이동 모두를 아우르는 변환을 모은 군(group)을 푸앵카레 군(Poincaré group)이고 관성 좌표계 간의 변한 전체는 로런츠 변환뿐만 아니라 푸앵카레 군에 포함된 모든 변환에 관한 것이어야 할 것이다. 하지만 평행 이동에 대한 이야기는 이 문서에서 그리 중요한 것이 아니고, 따라서 이 문서에서 관성 좌표계 간의 변환은 로런츠 변환만 따지는 것으로도 충분하다.[24] 편의상 contravaraint인지 covariant인지는 구분하지 않았다. 어차피 3차원에서는 별 의미가 없지만.[25] 상대론하에서 식을 쓰다 보면 성분의 제곱을 그대로 쓸 일이 그렇게 많지 않다. 어차피 다들 알아서 헷갈리지 않게 잘 표기하다 보니 (정말 거듭제곱일 경우 그게 딱 봐도 거듭제곱인 것 같이 써 놓긴 한다) 정작 헷갈릴 일은 없다.[26] 아예 반대로 적용하는 경우가 있다. Landau, Lifshitz의 The Classical Theory of Fields에서 그렇다.[27] 합 기호 ∑ν=03\displaystyle \sum_{\nu = 0}^3ν=0∑3을 생략했다. 물리학자들은 이런 생략을 자주 쓴다. 이런 생략을 가리켜 아인슈타인 규약(Einstein's convention)이라고 부른다. 생략하되, (1) 같은 기호가 두 개만 쓰였고 (2) 그 두 기호 중 하나는 위 첨자에 다른 하나는 아래 첨자에 있는 경우에만 가능하다. 사실 그렇지 않은 경우는 물리적으로 의미가 없는 경우지만...[28] 직접 임의의 두 벡터에 대해 좌표 변환을 해 보면 금방 알 수 있다. 그러면 좌표 변환을 시키는 행렬이 AAA라고 했을 때 저 위에 쓴 ATJA=JA^T J A = JATJA=J가 만족되어야 함을 알 수 있는데, 이미 우리는 이걸 만족하는 행렬 AAA가 (일반적인) 로런츠 변환 행렬이라는 것을 봤었다. 따라서 변환 행렬은 반드시 로런츠 변환 행렬이어야 한다.[29] 4차원과 로런츠 변환을 조금 더 부연 설명하면, 이렇게 할 수 있다. 한 평면의 가로축을 공간, 세로축을 시간이라고 하자. 그런데, 관측자의 속도가 바뀌면, 이 두 축의 방향이 바뀐다! 이는 두 축이 회전한다는 뜻이고, 이것이 로런츠 변환이다. 축이 회전했으니, 시간과 거리가 바뀔 수밖에 없다. 그리고 이렇게 생각하려면, 시간과 공간을 통합해서 생각해야 하고, 이것이 흔히 말하는 4차원 시공간, 혹은 최초로 고안해 낸 사람의 이름을 딴 민코프스키 시공간.[30] 현대 기하학에선 새로운 '길이'(거리함수)와 그 길이를 일정하게 하는 변환(등거리변환)을 가지고 기하학을 구축할 수 있다고 본다. 이런 관점에서 유클리드 기하학은 단지 한 예시일 뿐. 이 관점에서 유클리드 기하학이란 3차원 유클리드 거리함수와 회전변환을 통하여 만들어진 기하학이다.[31] 시공간 거리는 3차원 유클리드 기하학에서의 거리를 단순히 4차원 버전으로 바꾼 것과 전혀 다른 것이다. 그랬으면 (ct)2+x2+y2+z2(ct)^2 + x^2 + y^2 + z^2(ct)2+x2+y2+z2 (부호 주의)이 일정해야 했을 것이다.[32] 하지만 시간축을 뺀 나머지 공간축이 이루는 '공간'을 지배하는 기하학은 (일반상대론을 뺀다면) 여전히 유클리드 기하학이다. 사실, 특수상대론에서 다루는 기하학은 유클리드 기하학을 일종의 부분집합으로 포함한다. 전문 용어로 하자면, 특수상대론의 시공간을 지배하는 군 O(3, 1)은 유클리드 기하학을 지배하는 군 O(3)를 부분군으로 갖는다.[33] 평범한 2차원 공간에서 어떤 점과 그 점을 지나는 (원점에 중심이 있는) 원이 있다고 생각해보자. 이 점을 평범하게 아무리 회전시켜봤자 이 원을 벗어날 수 없는 원리와 똑같다. |