2차 비제차 선형 상미분방정식(2nd Order Nonhomogeneous Linear ODEs)이 있습니다.
$$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x) \quad \cdots~(*)$$
$$r(x) \ne 0$$
nonhomogeneous ODE의 general solution은 다음과 같은 형태입니다.
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$
$y_h(x) = c_1y_1 + c_2y_2$
: general solution of homogeneous ODE
$y_p(x)$
: 미분방정식 (*)을 만족시키는 어떤 해(단, 임의의 상수는 포함하지 않는 해)
$y_h$는 지금까지 공부한 방법으로 구할 수 있습니다.
이번 장에서는 $y_p$를 어떻게 구할 것인지에 대해 알아보도록 하겠습니다.
미정계수법 - Method of Undetermined Coefficients
$y_p$는 미정계수법을 이용해서 구할 수 있습니다.
이 방법은 주로 상수 계수 미분방정식의 풀이에 사용됩니다.
$$y'' + ay' + by = r(x)$$
미정계수법엔 총 세 가지 법칙이 적용됩니다.
(a) Basic Rule. 아래 표에 의거하여, $r(x)$에 따라 적당한 $y_p(x)$를 추정한다.
Terms in $r(x)$ | Choice for $y_p(x)$ |
$$ke^{\gamma x} $$ | $$Ce^{\gamma x} $$ |
$$kx^n(n=0,1,2,\cdots )$$ | $$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1}+\cdots + K_1x + k_0$$ |
$$k\cos{\omega x} \quad or\quad k\sin{\omega x}$$ | $$K\cos{\omega x}+M\sin{\omega x}$$ |
$$ke^{\alpha x}\cos{\omega x} \quad or\quad ke^{\alpha x}\sin{\omega x}$$ | $$e^{\alpha x}(K\cos{\omega x} + M\sin{\omega x}) $$ |
(b) Modification Rule.
만약 rule(a)에 따라 결정한 $y_p$와 homogeneous ODE를 풀어서 구한 $y_h$가 같다면(겹친다면),
$y_p$에 $x$(중근과 겹친다면 $x^2$)를 곱해준다.
예제 2.를 통해 더 확실히 이해할 수 있습니다.
(c) Sum Rule
$r(x)$가 표에 적힌 함수들의 합으로 구성되어 있다면, $y_p$도 그에 해당하는 함수들의 합으로 추정한다.
예제 1. Rule (a)에 대한 예제.
$$y'' + y = 0.001x^2,\quad y(0) = 0,\quad y'(0) = 1.5$$
Homogeneous ODE
$$y'' + y = 0$$
의 Characteristic Equation을 구하면,
$$\lambda^2 + 1 = 0$$
$$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2= \sin{x}$$
$$y_h = A\cos{x} + B\sin{x}$$
$r(x) = 0.001x^2$이므로
$$y_p = K_2x^2 + K_1x + K_0$$
로 추정한 후, 미분방정식에 대입합니다.
$$y_p' = 2K_2x + K_1,\quad y_p'' = 2K_2$$
$$\Rightarrow \quad (2K_2) + (K_2x^2 + K_1x + K_0) = 0.001x^2$$
$$\Rightarrow \quad K_2x^2 + K_1x + (2K_2 + K_0) = 0.001x^2$$
계수를 비교하면,
$$K_2= 0.001,\quad K_1= 0 ,\quad K_2 = -0.002$$
$$y_p = 0.001x^2-0.002$$
따라서 general solution은 다음과 같습니다.
$$y = y_h + y_p = A\cos{x} + B\sin{x} + 0.001x^2 - 0.002$$
이제 초기값을 이용해서 상수 A, B의 값을 정합니다.
$$y(0) = A - 0.002 = 0\quad \therefore \quad A = 0.002$$
$$y'(0) = B = 1.5$$
$$\therefore\quad y = 0.002\cos{x} + 1.5\sin{x} + 0.001x^2 -0.002$$
예제 2. Rule (b)에 대한 예제.
$$y'' + 3y' + 2.25y = -10e^{-1.5x},\quad y(0) = 1,\quad y'(0) = 0$$
Homogeneous ODE
$$y'' + 3y' + 2.25y = 0$$
의 Characteristic Equation을 구하면,
$$ \lambda^2 + 3\lambda + 2.25 = 0$$
$$ \Rightarrow (\lambda + 1.5)^2 = 0$$
$$\therefore \quad y_h = (c_1 + c_2x)x^{-1.5x}$$
$r(x) = -10e^{-1.5x}$이므로 $y_p = Ke^{-1.5x}$로 추정하려고 했으나,
$y_h$의 basis $e^{-1.5x}$와 겹치므로, (게다가 $e^{-1.5x}$가 중근이므로) $x^2$을 곱한
$$y_p = Kx^2e^{-1.5x}$$
를 해로 추정합니다.
이후 $y_p$를 미분방정식에 대입합니다.
$$y_p' = 2Kxe^{-1.5x} -1.5Kx^2e^{-1.5x}$$
$$ = K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$
$$y_p'' = K(2-3x)e^{-1.5x} - 1.5K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$
$$ = K(2.25x^2 - 6x + 2)e^{-1.5x}$$
$$\Rightarrow \quad K(2.25x^2-6x+2)e^{-1.5x} +3K(2x-1.5x^2)e^{-1.5x} + 2.25Kx^2e^{-1.5x}$$
$$\Rightarrow \quad (2.25K - 4.5K + 2.25K)x^2e^{-1.5x} + (-6K + 6K)xe^{-1.5x} + 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$
$$\Rightarrow 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$
$$\therefore \quad K = -5$$
$$y_p = -5x^2e^{-1.5x}$$
general solution을 구하면,
$$y = y_h + y_p = (c_1 + c_2x)e^{-1.5x} -5x^2e^{-1.5x}$$
$$\Rightarrow \quad y = (c_1 + c_2x -5x^2)e^{-1.5x}$$
초기값을 이용하면,
$$y(0) = c_1 = 1$$
$$y'(0) = c_2 - 1.5c_1 = c_2 - 1.5 = 0$$
$$\therefore \quad y = (1+ 1.5x-5x^2)e^{-1.5x}$$
예제 3. Rule (c)에 대한 예제.
$$y'' + 2y' + 0.75y = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x, \quad y(0) = 2.78,\quad y'(0) = -0.43$$
먼저 Homogeneous ODE의 general solution을 구해보면,
$$y_h = c_1e^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x}$$
$r(x) = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$를 보아 $y_p$를 다음과 같이 추정한 후 원래 미분방정식에 대입합니다.
$$y_p = A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0$$
$$y_p' = -A\sin{x} +B\cos{x} +K_1$$
$$y_p'' = -A\cos{x} -B\sin{x}$$
$$\Rightarrow \quad (-A\cos{x} -B\sin{x}) + 2(-A\sin{x} +B\cos{x} +K_1) + 0.75(A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0)$$
$$ = (-A + 2B + 0.75A)\cos{x} + (-B-2A+0.75B)\sin{x} + 0.75K_1x + (2K_1 + 0.75K_0)$$
$$ = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$$
계수를 비교하면,
$$-0.25A + 2B = 2$$
$$-2A - 0.25B = -0.25$$
$$0.75K_1 = 0.09$$
$$2K_1 +0.75K_0 = 0$$
$$\therefore \quad A = 0,\quad B = 1, \quad K_1 =0.12, \quad K_2 = -0.32$$
$$\therefore \quad y_p = \sin{x} + 0.12x -0.32$$
따라서 미분방정식의 general solution은 다음과 같습니다.
$$y = y_h +y_p = c_1c^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x} + \sin{x} + 0.12x -0.32$$
초기값을 이용해서 상수값을 구하면 다음과 같은 해를 얻습니다.
$$y = 3.1e^{-0.5x} + \sin{x} +0.12x-0.32$$