2015 수능 수학 b형 30번 - 2015 suneung suhag bhyeong 30beon

11월 수능

[수능30번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설

2015학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제의 풀이 및 해설입니다.

최신 기출은 아래 링크를 참조하십시오.

[수능29번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 29번 기출문제 풀이 및 해설

[수능30번] 2017학년도 대학수능 수학 가형 30번 기출문제 풀이 및 해설

[수능29번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설

[수능30번] 2016학년도 대학수능 수학 B형 30번 기출문제 풀이 및 해설

[수능29번] 2015학년도 대학수능 수학 B형 29번 기출문제 풀이 및 해설

[풀이 및 해설]

대개의 경우 절댓값 안쪽이 0이 되게 하는 x 값에서 그 그래프는 꺾이게 되고 이 때 미분이 불가능합니다.

함수 f(x) 의 그래프는 점 (-1, 0) 을 기준으로 x > -1 일 때는 양수, x < -1 일 때는 음수인 증가함수입니다. 그러므로 함수 | f(x) | 의 그래프는 x < -1 일 때의 f(x) 의 그래프가 x 축에 대칭이 되도록 꺾여서 위로 올린 모습이므로 x = -1 에서 미분불가능이 됩니다.

이상을 식으로 확인해보면,

위와 같이 꺾인 자리인 x = -1 좌우에서 접선의 기울기의 극한이 부호가 반대가 되고 있음을 알 수 있습니다. 그래프를 그려 보고, 이 부분에 대해서 먼저 감을 확실히 잡고 있어야 겠구요...

다음, | f(x^k) | 에 대해서,,,

k 가 짝수일 때는,

위 보라색 등식을 만족하는 실수 x 가 존재하지 않지요. 모든 실수 x 에 대하여  f(x^k) 는 아래와 같이 항상 양수가 되고, 따라서 | f(x^k) | 또한 f(x^k) 와 마찬가지로 실수 x 의 전 구간에서 미분가능합니다.

k 가 홀수일 때는,

위 보라색 등식이 x = -1 에서 성립하고, f(x^k) 가 증가함수이므로 | f(x^k) | 의 그래프는 f(x) 의 그래프와 마찬가지로 x < -1 일 때의 f(x^k) 의 그래프가 x 축에 대칭이 되도록 꺾여서 위로 올린 모습이므로 x = -1 에서 미분불가능이 됩니다.

이상에서 함수 g(x) 는 x = -1 에서 미분가능하다면 실수 x 의 전 구간에서 미분가능합니다.

이제, x ≠ -1 일 때 함수 g(x) 의 미분을 아래와 같이 두고,

x = -1 좌우에서 미분계수의 극한을 구해 보면,

이므로,

x = -1 에서 미분이 가능하려면 x = -1 의 좌우에서 아래 두 극한값이 같도록 해주면 됩니다.

k = 2m 인 경우는 어차피 소거되므로 계산할 필요가 없었군요...

이상에서 만족하는 모든 자연수 n 의 값의 합은 19 + 20 = 39 입니다.

다음은, 보다 실전적인 풀이 ...

함수 f(x), f(x^k), | f(x^k) | 의 그래프에 대한 감이 좋아야 합니다.

위 애니메이션에서처럼 k 의 값이 짝수일 때는 항상 양수이므로 절댓값 기호에 영향을 받지 않지만, 홀수일 때는 x = -1 을 기준으로 좌우에서 부호가 바뀌므로, 결국 함수 g(x) 가 모든 실수에 대해서 미분이 가능하도록 하자면 x = -1 의 좌우에서 미분계수를 같게 해주면 된다는 생각을 하는 것이 중요합니다.

x = -1 일 때 미분가능이어야 하므로,

f '(-1) = 1 이지요. 따라서

따라서 n = 2m - 1 에서 19입니다.

그런데 도중에 소거된 2m 번째 항이 있어도 무방하므로 n = 20 이어도 됩니다.

이상에서 만족하는 모든 자연수 n 의 값의 합은 19 + 20 = 39 입니다.

곳곳이 함정인 문제라 정답을 이끌어내기가 어려운 문제이다 싶어요.

개념 자체는 빤하지만, 익숙할 만큼의 풍부한 이해를 바탕으로 치밀하게 처리할 수 있도록 평소에 많이 훈련되어야...