2022 수능 수학 14번 - 2022 suneung suhag 14beon

내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^

오늘도 이어서 2022년 수능 수학 풀이에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다.

지난번에 올린 1~10번 문제 풀이는 아래 링크에 올려두었어요:)

오랜만에 수능문제를 풀어보니 어려우면서도 머리를 다시 사용하니 재미있기도 했습니다!

2022년 수능 수학 1~7번 문제 풀이

2022년 수능 수학 8~10번 문제 풀이

2022년 수능 수학 11~12번 문제 풀이

2022 수능 수학 30대가 되어서 풀어보는 수능 수학 풀이(11번~12번 문제)

내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^ 오늘도 이어서 2022년 수능 수학 풀이에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다. 지난번에 올린 1~10번 문제 풀이는 아래 링크

icareu.tistory.com

13번 문제 : 로그함수의 정의, 1차함수의 정의, y절편, 로그함수의 연산, 지수함수의 연산
14번 문제 : 속도함수, 변위함수, 이동거리, 이차함수의 형태, 다항함수의 미분과 적분, 적분의 정의

2022 수능 수학 13번~14번 문제 풀이 캡쳐

2022 수능 수학 13번 문제

13번 문제는 로그함수와 y절편의 정의를 이해하고, 이를 바탕으로 수식을 세운 뒤에 로그함수와 지수함수의 연산특성을 바탕으로 식을 간단하게 나타내어서 미지의 f(x)를 구하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 로그함수의 정의, 1차함수의 정의, y절편, 로그함수의 연산, 지수함수의 연산)

먼저 문제에서 주어진 단서를 한번 확인해보면, log₂(x)와 log₄(x)를 주었구요. 해당 곡선 위에서 x=a, x=b 점을 이어서 직선을 그으면, 두 직선이 서로 같은 y절편을 지난다고 되어있습니다. 그런데 문제에서 실제로 풀기 원하는 f(x) = a^bx + b^ax로 지수함수의 형태입니다. 로그함수와 지수함수는 서로 짝을 이루기 때문에 주어진 단서를 바탕으로 풀 수 있을 것이라고 예상되는데요.

일단 단서로 잡을 수 있는게 아래의 3가지가 있습니다.

1) log₂(x)와 log₄(x) 위에서 x=a, x=b 점을 이은 직선 -> 1차함수의 정의로 식을 쓸 수 있음

2) 두 직선의 y 절편이 같다 -> 1차함수의 상수항 부분이 같다.

3) f(x=1) = 40 -> a^b+b^a = 40. 즉, 로그함수를 풀어서 지수함수 형태의 결과값을 얻으면 풀이가 가능하다.

1),2)를 이용하면 log₂(a)와 log₄(a)로 정리되는 식을 얻을 수 있습니다. 여기서 log의 연산을 이용하면, log₂(a)=2log₄(a)의 관계가 있으므로 (마찬가지로 log₂(b/a)=2log₄(b/a)), 식을 간단하게 묶을 수 있습니다.

그리고 로그함수의 연산을 이용하여 식을 정리해보면, log₄{a^(b-a)} = log₄{(b/a)^a} 가 되는데, 1<a<b 이므로 log₄를 제거해도 수식이 성립하므로, a^(b-a)=(b/a)^a로 지수함수의 형태를 얻을 수 있습니다. 그리고 이를 다시 각각 정리해보면, a^b=b^a의 관계가 나옵니다.

여기에 3)에서 구한 f(1)을 대입하면 a^b=b^a=20임을 확인할 수 있고, 미지의 수식이었던 f(x) = 2*20^x로 구할 수 있게 됩니다. 여기에 x=2 대입하면 문제에서 원하는 답을 구할 수 있습니다.

2022 수능 수학 14번 문제

14번 문제는 속도함수와 변위함수의 정의와 이들 사이의 미분과 적분 관계, 그리고 이동거리의 정의를 이용하여 미지의 함수의 형태를 추론하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 속도함수, 변위함수, 이동거리, 이차함수의 형태, 다항함수의 미분과 적분, 적분의 정의)

문제에서 준 단서는

1) x(t)가 3차함수라는 점 ; 즉, v(t) = x'(t)는 2차함수

2) x(0)=x(1)=0 이라는 점

3) ∫|v(t)|dt = 2가 이동거리라는 점 ; t=0~1 까지 x(t)의 이동거리가 2가 된다. 

ㄱ.∫v(t)dt = 0 은 속도함수가 변위함수의 미분관계라는 것을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. v(t)=x'(t) 이므로, 위의 적분식은 x(1)-x(0) 으로 정리되는데, x(1)=x(0)=0 이므로 ㄱ은 맞다고 볼 수 있다.

그런데, 이 ㄱ의 결과와 단서1), 3)을 이용하면, v(t) 함수의 대략적인 그래프 개형을 알 수 있습니다. ㄱ과 1)을 통해서 t=0~1 동안 이동거리는 2이지만, 변위는 0 인 것을 알 수 있습니다. v(t)가 2차함수이므로 이러한 상황이 가능한 경우를 대략적으로 그려보면 위의 ㄴ에 그려둔 그림과 같습니다.(3번째 케이스를 뒤집은 것까지하면 4가지 가능)

ㄴ. 이렇게 그려면 v(t) 그래프 계형을 바탕으로 보면, t=0~1 동안 변위가 1초과로 가는 경우가 없는 것을 알 수 있고, 따라서 ㄴ은 거짓이 됩니다.

ㄷ. t=0~1에서 |x(t)|<1 이라는 것은, 그래프 개형 중 3번째 케이스에 해당한다고 볼 수 있습니다. (첫번째, 두번째 경우는 x(t)=1이 되는 순간이 존재) 이 경우 x(t)가 한쪽으로 갔다가 다시 돌아오게 되므로 t=0~1 사이에 특정 시간 t2에서 x(t2)=0이 되는 상황이 존재할 수밖에 없기에 참이라고 볼 수 있습니다.

즉, 답은 ㄱ,ㄷ 입니다.

14번 문제는 수식의 풀이를 통해서 접근을 하게 되면, 꽤나 복잡할 수 있으나 속도와 변위, 이동거리라는 관점으로 해석해보면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다. (물론 이런 접근도 미분과 적분을 통해 해석한 것과 동일하긴 합니다.)

오늘 글이 도움이 되셨다면 댓글을 통해서 응원해주시면 큰 힘이 될 것 같습니다:)
궁금하신 부분에 대해 문의주시면 다음 포스팅에 참고하도록 하겠습니다!

2022학년도 수능 수학영역 11번 부터 15번까지 풀이입니다. 

유튜브로 처음으로 천 넘었는데 4천? 처음 보는 숫자네요... ㅋㅋㅋ 

빨리 올리길 잘한거 같네요. 얼른 풀고 싶은데 일 시간이랑 겹쳐서 잘... 못 올리고 있습니다. ㅠ 일단 22번까지는 풀었는데 최대한 올려보겠습니다.

2022학년도 수능 수학영역 11번은 탄젠트 함수에 주기를 이용해서 삼각형의 한변의 길이를 a로 둡니다. 다 a의 관한식으로 쓸 수 있기 때문에 a를 금방 구할 수 있겠습니다. a로 두고 B의 좌표를 구해줍니다. 탄젠트가 점대칭이므로 OB의 길이는 a에 절반입니다. 

60도를 이용해서 B의 좌표를 구하고 그 좌표를 탄젠트 함수에 대입해줍니다. 그러면 a의 값이 나오고요. 그 a값이 결국 정삼각형 한변의 길이이므로 정삼각형 넓이 공식을 이용하여 마무리 해주면 됩니다.

f(x)와 x가 섞인 다항식을 인수분해 주고요. 그러면 f(x)라는 함수가 될 수 있는게 -x나 x, 상수함수 1안에서 해결해야합니다. 실수 전체에서 f(x)는 연속함수라고 했으므로 끊어지면 안되고 다 연결이 되야 합니다. 그리고 최댓값이 1이고 최솟값은 0이므로 저 밑에 그래프처럼 나오게 됩니다. 그러면 함숫값만 대입하면 되므로 쉽게 풀 수 있겠습니다. 

2022학년도 수능 수학영역 13번 문제는 두 직선의 y절편이 같다고 했으므로 두 직선의 방정식을 구해줍니다. 그리고 y절편을 구해서 문제에 요구대로 같다고 놔줍니다. 그러면 생각보다 식이 묶이게 되고 정리를 해주면 a^b는 b^a가 서로 같게 됩니다. f(1)=40이라고 주어져있으므로 대입을 한 후 a^b를 구해줍니다. 그러면 20이 나오고요. 그다음 f(2)를 구해주고 마무리 하면 됩니다. 

2022학년도 수능 수학영역 14번은 속도와 이동거리 변위에 관련된 문제입니다. 문제에서 속도에 절댓값을 0부터 1사이 정적분값이 2라고 했습니다. 0에서 1까지 움직인 이동거리가 2라는 소리지요. 그리고 ㄱ을 풀어보면 변위가 0부터 1사이에서 0이 나옵니다. 그러면 원점으로 돌아오긴 했는데 어디 2만큼 돌아다니다가 원점으로 돌아오게 된것이죠. 

ㄴ에서는 절댓값 x가 1보다 클 때 그값이 0부터 1사이에 존재하냐는 것인데요. 존재가 한다면 위에 조건인 이동거리가 2를 넘어서게 됩니다. 다시 원점으로 돌아와야 하는데 1보다 큰값이 존재하면 안되죠.

예를 들어 1.2만큼 이동을 했으면 돌아올 때도 -1.2만큼 이동하게 되니까 2.4가 되어 2보다 크게 됩니다. 그래서 1보다 클 때는 존재하지 않으므로 ㄴ은 틀립니다. 

ㄷ에서는 절댓값이 1보다 작으면 0이 될 때가 존재하냐는 건데요. 전체 이동거리는 2가 나와야 하니까 0.5이동하고 -0.5 이동하고 다시 -0.5 그다음 +0.5이동하면 전체 이동거리는 2이고 변위는 0이 나오게 되죠. 이런식으로 생각하면 존재하므로 ㄷ은 맞습니다. 

2022학년도 수능 수학영역 15번 문제는 만약에 그냥 풀라고 했으면 좀 어려웠을 수도 있겠죠.  괄호넣기니까 유추를 하다보면 답을 생각보다 금방 찾습니다. 지름 지나는 삼각형이 직각삼각형이다만 알면 (가)와 (나)까지는 금방구하게 됩니다. 그리고 (다)도 문제에서 코사인법칙에 의하여라고 써있으므로 이용해서 구해주면 됩니다. 이렇게 2022학년도 수능 수학영역 11번부터 15번까지 객관식문제는 다 풀어봤습니다. 공통영역 객관식에 맨마지막 문제는 괄호 넣기 문제가 나왔네요. 저는 오히려 10번 문제가 좀 걸렸던것 같네요. 접선의 기울기만 같다고 놓고 풀다가요.ㅎㅎ 아직 선택은 못 풀어봤는데 얼른 준비를 해보겠습니다.

수험생 여러분 수고하셨습니다.