모든 어떤 역, 이, 대우 - modeun eotteon yeog, i, daeu

<교과서 속 차례 - 수학 2>

Ⅰ 집합과 명제

2. 명제

02 명제의 역과 대우

9. 명제의 역, 이, 대우

1) 명제의 역, 이, 대우

명제는 일반적으로 p→q로 놓을 수 있다고 배웠습니다.

명제의 역은 반대로 q→p 즉, 두 조건의 선후관계가 바뀐 것을 의미하죠.

예컨데, '모든 x에 대해서 x>0이면 x²>0이다.'의 역은 'x에 대해서 x²>0이면 모든 x는 x>0이다.' 이렇게 됩니다.

명제의 이는 무엇일까요?

명제가 p→q라면 명제의 이는 조건을 각각 부정해서 ~p→~q라고 할 수 있습니다.

마찬가지로 '모든 x에 대해서 x>0이면 x²>0이다.'라는 명제의 이를 구해볼게요. 조건을 각각 부정하면 됩니다.

'어떤 x에 대해서 x≤0이라면 x²≤0이다.' 이런 식으로 바꿔지겠죠.

대우는 '역과 이'를 동시에 하는 겁니다.

명제가 p→q라면 그 명제의 대우는 ~q→~p가 되는 것이죠.

역시 아까와 같은 명제 ''모든 x에 대해서 x>0이면 x²>0이다.'의 대우를 구해보면

'x에 대해서 x²≤0이면 어떤 x는 x≤0' 이런 식으로 되겠죠.

※ 부정

명제 : p→q

명제의 부정 : p→~q

명제의 이 : ~p→~q

부정은 명제를 부정할 수도 있고, 조건을 부정할 수도 있습니다.

p→q라는 명제의 부정은 q만 부정해서 p→~q가 됩니다.

가정도 부정하는 '이'와는 다르죠. 

2) 대우명제

어떤 명제에 대해서 대우인 명제를 대우명제라고 합니다.

어떤 명제가 참이라면 언제나 대우명제도 참인데요.

지난시간에 조건 p, q에 대한 

진리집합 P, Q에 대해서 p→q가 참이면 p⇒q이라고 표현할 수 있고, P⊂Q라고 배웠었죠.

그에 대한 대우명제는 ~q→~p이므로 진리집합에 대해서 

밴다이어그램으로 표현하자면

p⇒q일 때, 아래와 같으므로

p⇒q라는 조건이면 P⊂Q임이 성립합니다.

그리고 그의 대우명제인 ~q→~p가 성립하려면 

아래를 보면 당연히 성립함을 알 수 있죠.

따라서 명제가 참이면 그 명제의 대우는 항상 참이고 p⇒q이면 ~q⇒~p라고 결론내릴 수 있습니다.

그러므로 만약 명제의 참과 거짓을 밝히기 어렵다면 대우의 참과 거짓을 판별하여 판별하는 경우도 있습니다.

3) 귀류법

명제의 결론을 부정하여 가정했을 때, 생기는 모순을 통해서 그 명제가 참임을 증명하는 방법입니다.

즉, p→q라는 명제를 증명하려고 할 때, ~q일 때 생기는 모순을 통해 

p→~q는 성립하지 않고 p→q가 성립함을 증명하는 간접적인 증명법입니다.

예컨데, √(2)이 무리수임을 증명해보려고 합니다.

√(2)가 유리수라고 가정해봅시다.

모든 유리수는 분수꼴로 바꿀 수 있죠.

즉, 0이 아닌 정수 m, n에 대해서 아래가 성립합니다.

하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.

논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.

명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.

명제의 역, 이, 대우

명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.

여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.

이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.

마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.

집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (AC)C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?

어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.

명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.

위 그림에서 QC ⊂ PC가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.

명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면  x2 = 4이다

명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.

위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4네요.

명제 p → q : x = 2이면 x2 = 4이다
역 q → p: x2 = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x2 ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x2 ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

일단 명제는 x = 2이면 x2 = 4니까 참이죠?
역에서 x2 = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x2 = 4이므로 이도 거짓이고요.
x2 ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.

삼단논법

논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.

명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.

p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.

p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.

참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.

보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.

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명제의 역, 이, 대우

• 명제: p → q
• 역: q → p
• 이: ~p → ~q
• 대우: ~q → ~p
• 명제와 대우는 참, 거짓을 함께, 이와 역도 참, 거짓을 함께
• 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 상관없음.

삼단논법

• p → q, q → r이 참이면 p → r도 참
• p → q → r