미분으로 가장 먼저 할 수 있는 일은 바로 어떤 함수 그래프의 '접점에서의 접선의 방정식'을 구하는 일입니다. 왜냐하면 미분계수는 그 접점에서의 순간기울기를 의미하고, 접선이라는 직선의 방정식은 기울기와 지나는 한 점의 좌표만 알면 구할 수 있기 때문입니다. 이 파트에서 만약 자신감이 떨어짐을 느끼신다면 그것은 아마도 고1 때 직선의 방정식 기초가 약하기 때문은 아닐까요? 다시 갔다 돌아오는 데 얼마 시간 걸리지도 않습니다. 괜히 그런 작은 두려움 때문에 거사를 그르쳐야 되겠습니까? ^^ 자 그럼..가시죠 1. 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f'(a)일 뿐이다. 지나는 접점의 좌표도 P(a, f(a))을 그대로 쓰면 된다. 별 것도 없습니다. 이라는 곡선 위의 점 (2,4)를 지나는 접선의 방정식을 구하라..라는 문제라면 우선 그 접선의 기울기를 알아야 겠지요? 그건 바로 그 점에서의 미분계수구요.. 그럼 가장 먼저 해야할 일은? 맞습니다. 도함수를 구하는 일입니다. 도함수 y'=2x네요.. x=2에서의 미분계수 y'(2)=2·2=4입니다. x=2에서의 접선의 기울기가 4라는 뜻입니다. 다 된겁니다. 접점의 좌표가 (2,4)이므로 이 좌표를 그대로 이용하면 되겠습니다. y-4=4(x-2) y=4x-4가 접선의 방정식이네요.. 약간 어려운 문제라면 곡선 위의 점이 아닌 곡선 밖의 점에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식 문제일텐데요..이런 유형 역시 고1 때 많이 접해보았습니다. 기억 안나시나요? 이라는 곡선 밖의 점 (1,0)에서 그은 접선의 방정식을 구하라. 일단 그래프를 그려보니 접선은 2개군요..그런데 접점을 모르겠네요? 모르는 것은 일단 문자로 처리하세요..모른다고 주저 않지 마시고..모르는 미지수를 구하는 게 수학입니다. 나중에 저절로 답이 풀려집니다. ^^ 접점은 일단으로 하죠.. 참 도함수 구해야죠..기울기 구할려면...y'=2x, 점 a에서의 기울기는 그럼 2a네요(역시 문자로 처리하세요..이런 거에 괜스리 겁먹는 친구들 많습니다. 숫자 모르면 문자로 처리하고 일단 가세요) 그럼 접선의 방정식은 좀 미완의 상태지만 이렇게 구할 수 있습니다. 됬네요..이제 ..a가 어떤놈인지만 알아내면 됩니다. a를 알려면 어떻게 하면 될까요? 힌트 어디 없나요? 있네요..저 접선들은 바로..(1,0)을 지나가네요..대입하세요 x에 1, y에 0 어? 아주 간단한 2차 방정식이 나오네요? a는 0 또는 2가 답이네요 자 그럼 다 된겁니다. a=0일 때 접선의 방정식은 y=0 a=2일 때 접선의 방정식은 y=4x-4 문제 풀어 보세요 2. 미분과 접선의 방정식에서 꼭 알아야 대표 문제들! 가. 접선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식 - 곡선 y=f(x) 위의 한 점을 (t, f(t))로 놓고 도함수를 이용하여 기울기를 구한다. - 접선의 방정식을 구한다. - 접선 밖의 한 점의 좌표를 대입하여 미지수 a를 구하고, 방정식을 완성한다. 나. 접선의 갯수 - 점 (a,b)에서 곡선 y=f(x)에 그을 수 있는 접선의 갯수는 미완성 접선의 방정식인 b-f(t) = f'(t)(a-t)의 실근의 갯수와 같다. 다. 접선과 곡선의 또다른 교점 문제 - 접선의 방정식을 일단 구한 다음 곡선의 방정식과 다시 연립하여 또 다른 교점을 구한다. 라. 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 문제 - f(x)가 삼차함수일 때 기울기를 나타내는 함수인 도함수 f'(x)는 2차함수가 된다. 그럼 그 이차함수 f'(x)의 최댓값 또는 최솟값이 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값이 된다. 마. 접선에 수직인 직선의 방정식 구하는 문제 - 곡선 f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서 접선의 기울기는 f'(a)이므로, 점 P를 지나면서 접선에 수직인 직선의 기울기는 이 된다. 바. 곡선과 원이 접할 때 접점을 지낙 접선에 수직인 직선은 원의 중심을 지나는 것을 응용한 문제 사. 공통접선 문제 - 두 곡선이 공통접선을 가지면 접점도 동일하고, 그 접점을 지나는 접선의 기울기도 동일하다. 수학 필기노트/수학Ⅱ [수2] 04. 접선의 방정식, 평균값 정리호반반 2019. 8. 12. 09:44 접선의 방정식1) 접점의 좌표가 주어진 경우 (a, f(a)) 접선의 기울기가 f'(a)이므로 접선의 방정식은 y - f(a) = f'(a)(x - a) 가 된다. 2) 기울기가 주어진 경우 접점의 좌표를 (a, f(a))로 놓고 f'(a)=m을 이용하여 a값을 구하고 접점의 좌표를 구한다. 그 다음에 y - f(a) = f'(a)(x - a) 대입시켜 방정식을 구한다. 3) 곡선 밖의 점의 좌표가 주어진 경우 다음과 같이 곡선 밖의 좌표 (x1, y1)이 주어진 경우, 접점의 좌표를 (a, f(a))로 놓고 대입시켜 a를 구하고 y - f(a) = f'(a)(x - a) 대입시켜 방정식을 구한다. 롤의 정리롤의 정리란 f(x)함수가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분 가능할때, f(a) = f(b)이면 그림과 같이 기울기가 0인 구간이 하나이상 존재한다는 것 입니다. 평균값 정리평균값 정리란, 롤의 정리에서 f(a)와 f(b)가 다를 경우까지 일반화한 정리로, 인 c가 적어도 하나 존재한다는 것이다. |