연립미분방정식 소거법 - yeonlibmibunbangjeongsig sogeobeob

[예제 1] [MIT OCW 18.02에서 인용] 아래 그림과 같이 달걀을 물에 넣고 끓인다가 물의 온도가되었을 때 달걀을 꺼내 찬 물에 넣고 식히기 시작한다. 이때 달걀의 흰자와 노른자의 온도 변화를 구하여라. 초기값으로 흰자와 노른자의 온도를 각각,로 가정한다.

[풀이] 

우선 달걀의 노른자와 흰자의 온도를 각각과로 놓는다. 뉴턴의 냉각 법칙에 의하면 접촉된 두 물질의 온도 변화율은 물질간의 온도 차이에 비례한다. 노른자의 경우 열전달은 흰자로부터만 이루어지지만 흰자는 물과 노른자에서 전달되는 열을 모두 고려해야 한다. 그리고 흰자와 노른자의 접촉면과 달걀 껍질을 통한 열전달 정도가 다를 것이므로 열전달 계수 (coefficient of heat transfer)를과로 다르게 놓는다. 이를 모두 고려하면 다음과 같은 연립 미분 방정식을 얻을 수 있다.

이 예제에서는 문제를 간단하게 하기 위해 달걀을 얼음물에 넣었다고 가정하여으로 놓는다. 또한 표기의 편의를 위해,대신,를 사용하고 다른 두 물질간의 열전달 정도를 나타내는과는 각각와으로 놓는다. 그러면 위 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

                              ,                  (6.1.1)

앞으로 배우게 될 해석적인 방법으로 문제를 풀기 전에 우선 우리가 알고 있는 방법을 사용해서 이 문제에 접근해 보자. 첫 번째 방정식으로부터 우리는를 얻을 수 있다. 이를 두 번째 방정식에 대입하면 다음과 같은 2계 미분 방정식을 얻는다.

앞서 4장에서 배운 대로 위 식의 특성 방정식(characteristic equation)은이며 그 해는과이다. 따라서 일반해(general solution)는가 된다. 이를 위에서 사용한에 대한 식에 대입하면

[Sage 코딩]  http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

기하학적 접근법 (Geometric Approach)

기하학적 접근법은 문제를 해석적으로 풀기에 앞서 해의 전반적인 거동을 대략적인 그림으로 나타내는 방법이다. 해석적인 방법처럼 해를 정확하게 표현할 수는 없지만 간단하게 해의 전체적인 형태를 직관적으로 표현할 수 있기 때문에 공학도에게는 매우 중요한 도구라 할 수 있다. 연립 미분 방정식의 기하학적 접근법은 1차 미분 방정식의 그것과 매우 유사하다. 다만 1계 미분방정식의 경우에는 경사장(slope field)을 이용했지만 연립 미분 방정식의 경우에는 벡터장 (vector field)을 이용한다. 우선 (6.1.1)을 행렬을 이용하여 다음과 같이 표현한다.

위 식의 좌변은 두 변수와의 변화율을 나타내며 이는 우변에 의해 결정된다. 예를 들어 두 점 (1, 1)과 (4, 3)에서의 변화율은 각각 (0, -3)과 (-2, -7)이다. 이를-평면에 화살표로 표현하면 아래 그림과 같다.

이 그림의 화살표들은 그 지점에서 두 변수의 변화율을 표시하므로 해는 항상 모든 점에서 화살표 방향을 따라 움직여야 한다. 따라서 벡터장에 이러한 조건을 만족하는 여러 곡선을 그릴 수 있는데 이를 궤적 (trajectory)이라 하며 이러한 궤적들 중에서 초기값을 만족하는 것을 해곡선 (solution curve)이라고 한다. [예제 1]에 나온 초기값을 이용하여 해곡선을 벡터장에 표현해보자. 초기 조건를 시작으로 화살표를 따라 해를 그려 보면 다음과 같은 그림을 얻는다.

고윳값 문제를 통한 연립 미분 방정식의 기하학적 접근법

[예제 2]

Sage를 이용하여의 벡터장의 등뼈 방향을 구하여라.

[풀이] 

[Sage 코딩] 

연립 선형 미분 방정식의 기본 이론

상수계수 동차 선형시스템

서로 다른 실근을 갖는 선형 시스템

[예제 2]

다음 연립 선형 미분 방정식의 일반해를 구하여라.  

[풀이] 

위 식의 특성 방정식은이며 고윳값은그리고이다. 이로부터 각 고윳값에 해당하는 고유벡터를 구할 수 있다. 따라서 일반해는 이들의 일차결합으로 다음과 같다.  

[Sage 코딩]  http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

다음과 같이 Sage를 이용하여 직접 연립 미분방정식을 풀 수도 있다.

켤레 복소근을 갖는 선형 시스템

중근을 갖는 선형 시스템

앞의 두 경우 모두 특성 방정식으로부터 상이한 고윳값을 얻을 수 있었고 이에 대해 서로 다른 고유벡터를 구할 수 있었다. 그리고 이를 통해 일반해를 구하는데 충분한 수의 기본해를 구할 수 있었다. 이 장에서는 특성 방정식이 중근을 갖는 경우, 즉 충분한 수의 기본해를 구할 수 없는 경우를 고려한다. 결론부터 이야기 하자면 어떤 경우는 문제없이 이전과 같은 방법으로 문제를 해결할 수 반면 또 다른 경우는 그렇지 않다는 것이다. 다음 예제를 살펴보자.

[예제 4]

다음 연립 선형 미분 방정식의 일반해를 구하여라.

[풀이] 

이를 행렬과 벡터를 이용하여 표현하면 다음과 같다.  

앞서 설명한 대로로 놓고 고윳값 문제를 풀면  

특성 방정식을 얻는다. 하지만 이 3차 특성 방정식은 세 개의 다른 근 대신에 한 중근과 또 다른 근, 두 개의 근만을 제공한다. 우선의 경우를 살펴보자. 이를 (6.2.5)에 대입하면 다음과 같은 세 개의 방정식을 얻는다.

           ,,    (6.2.6)

이로부터 하나의 고유벡터를 얻을 수 있다. 이와 같은 방법으로 중근의 경우에도 다음과 같은 세 개의 방정식을 얻을 수 있고

             ,,      (6.2.7)

이로부터두 개의 고유벡터를 얻는다. 따라서 주어진 문제의 차수와 같은 수의 기본해를 구할 수 있고 이를 조합해 다음의 일반해를 얻는다.  

[Sage 코딩]

이 문제의 경우 특성 방정식의 근이 중근을 포함한다는 사실이 일반해를 구하는 데 어려움을 주지 않았는데 이는 중근으로 부터 두 개의 서로 다른 고유벡터를 구할 수 있었기 때문이다. 하지만 이는 일반적인 경우가 아니다. 다음 예제를 살펴보자.