경사면 운동마찰계수 - gyeongsamyeon undongmachalgyesu

<마찰계수와 나무도막이 움직이기 시작하는 각도>

경사각이θ 인 미끄럼틀에 질량 m인 나무도막을 올려놓았을 때 위와같은 FBD를 그릴 수 있다. 먼저 나무도막의 질량이 2kg 이고 경사가 40도이며 정지마찰계수가 0.3 운동마찰계수가 0.2인 경우를 생각해 보자. 

m*g*sin(40) - F = m*a_x , 

-m*g*cos(40) - N = 0,

(수직항력 N의 방향을 양의 y 방향, 마찰력 F의 방향을 음의 x 방향으로 생각하여 x,y 좌표계 위에서 식을 세웠다.)

2*9.8*sin(40) = 12.60 N

최대정지 마찰력: 0.3*2*9.8*cos(40) = 4.50 N

운동마찰력: 0.2*2*9.8*cos(40) = 3.00 N

12.60 N > 4.50 N 이므로 운동마찰력의 영향을 받고 따라서 나무토막은 경사면 아래로 운동한다. 따라서 마찰력 F는 3.00 N 이 된다. 최대정지마찰력이 중력에 의한 힘의 크기보다 크다면 물체는 운동하지 않고 정적 평형 상태에 머무르게 된다.

이제 값을 대입해 넣지 않고 일반적인 식을 만들어보도록 하자. (마찰력 F = (마찰계수)*N  이용한다.) 먼저 이 물체가 움직이기 시작하는 각도를 찾기 위해  m*g*sinθ 와 F 간의 대소를 비교해 볼 것이다. 나무도막이 움직이기 위해서는 앞서 살펴보았듯 m*g*sinθ >=  F(=최대정지마찰력) = 정지마찰계수 * 수직항력 이 되어야 한다. 좌우변의 식을 간단히 정리하면

tanθ >= 정지마찰계수 일 때 비로소 경사면 아래로 나무도막이 내려가기 시작한다는 것을 알 수 있다.

위와 같이 정지마찰계수가 0.3일 때는 경사각이 얼마가 되어야 할까?

계산기를 이용해 계산해보면 약 16.7도가 되어야 한다는 결론을 얻을 수 있다. 

이러한 결과를 바탕으로 얻을 수 있는 재미있는 사실은 나무도막을 내려가지 못하게 할 수 있는 경사면은 없다는 사실이다. 정지마찰계수가 무한대가 되지 않는 이상 90도에 가까운 경사는 항상 나무도막을 아래로 떨어뜨릴 것이다. 

마찰력이 존재하지 않는 경우도 생각해보자. m*g*sinθ - F = m*a_x 에서 F = 0 이므로 나무도막은 g*sinθ 의 가속도로 경사면 아래를 향해 가속운동 할 것이다.

-한 가지 더 생각해 볼만한 사실이 있다. 그것은 '정지마찰계수가 운동마찰계수 보다 큰 이유' 이다. 아무리 표면을 매끄럽게 다듬어도 분자와 분자간의 응집력을 없애지는 못한다.(=접촉면 사이 분자들은 냉용접상태에 있다.) 따라서 나무도막이 운동하기 위해서는 응집 되어있는 상태를(용접되어 있는 상태를) 벗어나야 하므로 최대정지 마찰력은 운동 마찰력보다 커질 수 밖에 없고 정지마찰계수는 항상 운동마찰계수보다 크게 된다. 물체가 정지하면 다시금 나무도막의 가장 낮은 위치에 있는 분자와 경사면의 가장 높은 위치에 있는 분자가 냉용접하게 된다.

지난 번에 물체에 대해 마찰력에 영향을 주는 것 중에 하나는 수직항력 이라고 했었습니다.

  그런데, 마찰력에 영향을 또하나 주는 것이 있는데, 그것은 바로 물체의 재질 이랍니다. 이번 시간에는 마찰력에 영향을 주는 요인 중 하나인 접촉면에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

지난 번에 샤프통을 2개 가지고 한 실험... 생각 나시나요?  종이를 재질로 했을 경우에는 종이클립을 2개 걸어주면, 샤프통은 주르륵 미끄러지기 시작했죠.

그런데, 만약 이것을 졸업장(?) 에다가 하면 어떻게 될까요? 보도록 합시다.

추의 갯수가 2개가 되어서 2mg 만큼의 힘이 작용하였지만, 샤프통은 미끄러지지 않고, 정지해 있습니다.  계속해서 영상을 보시면 추를 4개 정도 얹었을 때 미끄러지는 것을 확인할 수 있습니다.

여기서 재질을 다르게 했을 뿐인데, 최대 정지마찰력까지 도달하는데, 걸리는 힘이 달라지는 것을 알 수 있습니다.

일단, 최대 정지 마찰력이라는 측면에서 입각해 보자면, 마찰력은 재질면도 영향을 받는다고 이야기할 수 있는데, 재질이 부드럽냐, 사포처럼 빡빡한가... 에 따라 달라지는 정지 마찰 계수(μ_s) 를 정의할 수 있습니다.

( [μ]는 [뮤]라고 읽습니다. )

μ_s 가 작다는 것은 그만큼, 최대 정지 마찰력까지 도달하는데 작용하는 힘이 작다.. 적은 힘으로도 쉽게 미끄러질 수 있다는 것이고,

μ_s 가 크다는 것은, 최대 정지 마찰력까지 도달하는데 작용하는 힘이 많아야 된다. 즉, 큰 힘을 줘야지만 물체가 움직일 수 있다는 것입니다.

*따라서, 우리는 물체의 운동을 방해하는 마찰력은 접촉물질의 재질과 수직항력에 비례한다는 데이터 결과를 토대로 , 최대 정지 마찰력을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

<최대 정지 마찰력>

물체의 (최대) 정지 마찰 계수를 μ_s 라 하고, 물체의 수직항력을 N이라고 하면

▲ 수직항력은 동일하나 , 종이면의 정지 마찰 계수를 μ_s 라 하고, 졸업장의 정지 마찰 계수를 μ_s` 이라 하면, μ_s < μ_s` 이다.

 샤프통을 최대 정지 마찰력까지 도달하는데 필요한 힘은 재질이 졸업장인 경우가 더 크다. 따라서,

졸업장은 클립을 많이 달아야지 가속되기에, 졸업장의 정지 마찰 계수가 더 큰 것이다.

반면, 운동할 때의 마찰 계수인 운동 마찰계수도 있습니다. 마찰력은 물론 정지 마찰력이든 운동 마찰력이든, 수직항력에는 비례하니까 그 관계를 얹고 갑니다. 그러나 운동 마찰력도 역시 재질의 영향을 무시할 순 없습니다. 재질이 사포처럼 거친다면, 역시 계수가 큰데요.

중요한 것은, 정지 마찰 계수보단 작다는 것입니다.( μ_k < μ_s ) 수직항력 항에 대한 관계를 비례하니까 포함시키고,  

재질에 따른 운동 마찰 계수 μ_k 도 포함시킵니다.

따라서, 운동 마찰력은 다음과 같이 정의됩니다.

<운동 마찰력>

① 물체의 운동 마찰 계수를 μ_k 라 하고, 물체의 수직항력을 N이라고 하면

② 운동 마찰 계수는 항상, 정지 마찰 계수보다 작다. 즉,

가 항상 성립한다.

▲ 졸업장이 더 종이면보다 표면이 거칠기 때문에, 운동 마찰 계수 역시 μ_k < μ_k` 이다.

이들을 잘 알면 경사면에서의 마찰력도 생각해 볼 수 있습니다. 먼저 경사면에서 물체가 정지한 상황을 생각해봅시다.

나무도막의 질량은 m 이고, 경사면의 각도를 θ라 하자면, 이 때의 마찰력은 중력의 sin성분과 평형을 이루고 있을 것입니다. 그렇죠?

만약,  경사면을 더 기울어진 상태에서 운동을 막, 시작했다고 한다면, 최대정지마찰력에 도달하게 되고, 곧이어 운동을 하게 되겠죠? 이 때

물체의 수직항력은 mgcosθ` 니까 최대 정지 마찰력은f_(s,max) = μ_s mg cosθ` = mgsinθ` 이 되겠고,

최대 정지 마찰력에 도달한 물체는 운동 마찰력으로의 전환되어 운동할 수 있습니다.

이 상황에서는 여기서 (최대) 정지 마찰 계수를 정량화 시킬 수 있는데요..  경사면의 tan값이 바로 그 최대 정지 마찰 계수에 해당합니다.

운동 마찰 계수에 대한 개념은 '운동을 할 때' 적용되는 마찰계수이고, 일단 물체가 운동하기 시작하면 그 값을 유지하기 시작합니다. 중요한 것은 외력이 최대 정지 마찰력 보다 더 줄어들더라도 일단 운동을 하면 운동 마찰력이 적용되어져야 한다는 것입니다.(정지할 때는 정지 마찰력이 적용되구요.)

예를 들어, 경사면 위의 전동기를 하나 달아서, 물체에 작용하는 외력을(그러니까 마찰력을 제외한) mgsinθ` 보다 더 작은 외력을 작용하게 만든다고 해도, 운동을 하는 상태라면, 여전히 운동 마찰력이 적용되어 진다고 판단해야 합니다. 경우에 따라, 등속도 운동도 만들 수 있습니다. 여기서는 그냥 운이 좋은 경우 - 등속도 운동을 만들어 보겠다는 뜻 - 를 한번 생각해 봅시다. 즉, mgsinθ` - F = f_ k 인 상황입니다.

접촉면과 마찰력의 관계는 일단, 아무 관련이 없다고 보는 것이 맞습니다... 가장 결정적으로 , 최대 정지 마찰력이나, 운동마찰력의 식에서

의 항에서 **재질 관련 요소는 없습니다.

실험 데이터는 사전에 여러 면에 대해 실험한 것인데요. 약간의 마찰 계수값이 달라지지만, 접촉 면적에 따른 것과 비교할 때 마찰 계수는 별 차이가 없습니다.

▲ [왼쪽] (사전 실험) 마찰 계수는 접촉 면적과 거의 무관하다.

/ [오른쪽] 접촉면적의 영향에 대한 레오나르도의 실험메모 사진 : 같은 무게의 물체의 마찰력은 그 접촉면적에 관계가 없다는 것을 보여준 실험이다.

도움이 되셨다면 추천을 눌러주세요~^^

---------

* 그러나 이것이 전부는 아닙니다. 습기(재질면이 얼마나 습한가, 건조한가) , 온도 와 같은 여러 요인들도 마찰력이라는 데이터값에 영향을 줍니다. 

아래 그래프를 보세요. 물체의 재질에 따라 온도에 따른 마찰계수는 다양한 데이터로 표출됩니다.

**  그러나, 이것도 모두 성립하는 명제는 아닙니다. 면이 충분히 젖어있거나, 기름으로 둘러싸인 경우는 면적에 정말 비례합니다. 그러나 일반적이라면 접촉면적은 상관없습니다.

접촉면적의 영향은 오랫동안 물의를 일으킨 문제였다. 아몬턴이 가장 골치를 썩힌 문제이다. ....

사실 접촉면적에 비례한다는 데이터도 많이 있었던 것이다.

(접촉면이 충분히 젖어 있거나 기름막으로 되어 있거나 기름막으로 되어 있거나 하면 면적에 비례한다는 사실을 오늘 날 잘 알려져 있다. 

소다 누리무네 - 『마찰 이야기』電波科學社 (1973)

하지만, 이런 질문을 선생님에게 하지 마세요. '대학드립' 을 칠꺼니까요.. 다시 말하지만 우리 나라 교육은 그런 생각보단 sky에 끼워넣는 게, 목표라니깐..

ex) "그런 건 대학가서', "시험에 나오는 것만 공부해라"

 --------------------------

그림출처 : 사전 접촉면적 실험, 레오나르도 실험, 온도-마찰계수 실험 , 現代科學新書 39 , 소다 노리무네 - 『마찰 이야기』(  電波科學社 ) (1973)