쿨롱의 법칙 계산 - kullong-ui beobchig gyesan

설군의연구소

물리학/일반물리학

쿨롱의 법칙을 이용한 전기력의 계산 (1)

설군 2022. 5. 28. 16:27

안녕하세요, 설군입니다.

전하를 띤 입자 사이에 작용하는 힘을 계산하기 위해서는 쿨롱(Coulomb)의 법칙을 이용합니다. 전하를 띤 두 입자 사이에 작용하는 힘의 방향과 크기가 어떻게 결정되는지를 실험한 과학자 쿨롱의 이름을 땄습니다.

전하가 $q_1, q_2$인 두 입자 사이에 작용하는 힘의 크기와 방향은 다음과 같이 쿨롱의 법칙으로 결정됩니다.

$$ \vec{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r} $$

전하를 띤 두 물체 사이에 작용하는 전기력의 세기는 두 물체의 전하량의 곱에 비례하고, 두 물체 사이 떨어진 거리의 제곱에 반비례한다는 특징이 있습니다. 이 글에서는 힘의 특징에 대해 이야기하기보다는, 힘을 계산하는 방법에 대해서 집중하겠습니다.

간단하게, 힘의 방향에 대해서 먼저 생각해봅시다. 입자가 띠는 전기 전하는 두 가지로 분류되는데, 하나는 양전하(플러스 전하), 다른 하나는 음전하(마이너스 전하)입니다. 예를 들어 두 물체를 마찰시켜 하나는 양전하, 하나는 음전하로 대전시키는 상황을 생각해보면. 한 물체에서 다른 물체로 전자가 이동합니다. 전자가 많아진 물체는 음전하로 대전되는 것이고, 전하가 부족해진 물체는 양전하로 대전됩니다.

이렇게 다른 부호 또는 같은 부호로 대전된 물체를 만들고, 그 물체들을 거리를 떨어뜨려 놓으면, 두 물체 사이에는 전기력이 작용합니다.
그 물체들이 서로 전기력을 작용할 때, 어떤 방향으로 힘이 가해지는지를 생각해봅시다.
(이제부터는 모양이 있는 물체보다는, 그냥 공 모양의 점입자를 생각하기 위해서, 입자라고 이야기하도록 하겠습니다)

위의 그림에서 첫 번째 경우를 먼저 생각해보면, 두 입자 모두 양전하로 대전되어있는 상황에서 두 입자는 서로를 밀어내는 방향으로 힘이 작용합니다. (힘의 크기는 쿨롱의 법칙으로 결정됩니다) 두 입자 사이에 작용하는 힘은 작용-반작용 관계에 있으므로 힘의 크기는 같습니다.
두 번째 경우처럼 두 입자 모두 음전하로 대전되어있는 상황이라면, 역시 두 입자는 서로를 밀어내는 방향으로 힘이 작용합니다. 따라서 두 입자가 같은 부호로 대전되어 있다면, 두 입자는 서로를 밀어냅니다.
마지막으로 두 입자가 서로 다른 부호로 대전되어 있다면, 이 경우에는 서로를 당기는 방향으로 전기력이 작용합니다.

두 입자들이 어떻게 놓여있건, 두 입자를 잇는 직선 상에 있는 방향으로 힘의 방향이 결정됩니다. 위의 그림과 같이 서로 같은 색깔의 입자끼리 힘을 주고받는다 하면, 그 입자들을 잇는 선 상에서 힘의 방향이 결정된다는 것이예요.

전기력의 방향은 어떻게 결정되는지 알았습니다. 두 입자의 전하 부호를 보면 되네요, 그렇다면 전기력의 세기는? 앞서 쿨롱의 법칙으로 구할 수 있다고 하였고, 간단하게 쿨롱의 법칙을 다음과 같이 쓰기도 합니다. 힘의 크기만을 생각해보면,

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

여기서 전기력의 단위는 힘의 단위이므로 국제 단위계에서 $\rm{m}$이고, 앞의 비례상수는 $k\approx 9 \times 10^9$입니다. 두 입자 사이에 작용하는 전기력의 크기를 숫자로 계산해봅시다.

* 예제 1

위와 같은 상황에서 입자 $\rm{A, B}$ 사이에 작용하는 전기력의 크기와 방향을 구해봅시다.
먼저 두 입자 사이에 작용하는 전기력의 방향을 구해봅시다. 두 입자는 모두 양전하이므로, 서로를 밀어내는 방향으로 힘이 작용합니다. 따라서 입자 $\rm{A}$가 $\rm{B}$에 작용하는 힘의 방향은, 오른쪽으로 밀어내는 방향이므로 $+\hat{x}$방향이고,
입자 $\rm{B}$가 $\rm{A}$에 작용하는 힘의 방향은, 왼쪽으로 밀어내는 방향이므로 $-\hat{x}$방향입니다.

입자 $\rm{A}$가 $\rm{B}$에 작용하는 힘의 크기를 구해봅시다. 쿨롱의 법칙에 주어진 값들을 대입해줍니다. 각 입자의 전하량을 대입해주고, 쿨롱 상수(쿨롱의 법칙 앞의 비례 상수 $k$와 두 입자 사이에 떨어진 거리를 대입하면 되겠죠?

$$F=k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times10^9 \cdot \frac{5 \cdot 3}{5^2} = 5.4\times10^9\ \rm{N}$$

이 됩니다. 따라서 답을 적을 때에는, 예를들어 물체 $\rm{A}$가 물체 $\rm B$에 작용하는 힘의 크기와 방향을 구하라고 했다면?

$$\vec{F}_{\rm{AB}}=5.4\times10^9\ \rm{N}\ \hat{x}$$

라고 적으면 됩니다. (\vec{F}_{\rm{AB}}라는 뜻은, 물체 $\rm A$가 물체 $\rm B$에 작용하는 힘 이라는 뜻입니다)

* 예제 2

이번에는 두 입자의 전하 부호가 다른 상황입니다. 이 경우에 두 물체는 서로 끌어당기는 방향으로 힘이 작용한다는 걸 바로 알겠죠?
그렇다면 힘의 크기는?

$$F=k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 9\times10^9 \cdot \frac{5 \cdot |-2|}{3^2} = 1\times10^{10}\ \rm{N}$$

입니다. 힘의 크기만을 구할 때에는 두 입자의 전하 부호는 상관하지 말고 전하량의 크기만을 곱해주면 힘의 크기를 구할 수 있습니다.

이번에도 마찬가지로, 문제에서 어떤 입자가 다른 입자에게 작용하는 힘의 크기와 방향을 구하라고 했다면, 방향을 고려해서 방향벡터를 붙여주면 됩니다.

다음 글에서는, 여러 입자가 같은 선상에 놓여있을 때에 전기력을 계산하는 방법에 대해서 이야기하도록 하겠습니다.