2차 비제차 선형 상미분방정식(2nd Order Nonhomogeneous Linear ODEs)이 있습니다. $$y'' +p(x)y' + q(x)y = r(x) \quad \cdots~(*)$$ $$r(x) \ne 0$$ nonhomogeneous ODE의 general solution은 다음과 같은 형태입니다. $$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$ $y_h(x) = c_1y_1 + c_2y_2$ : general solution of homogeneous ODE $y_p(x)$ : 미분방정식 (*)을 만족시키는 어떤 해(단, 임의의 상수는 포함하지 않는 해) $y_h$는 지금까지 공부한 방법으로 구할 수 있습니다. 이번 장에서는 $y_p$를 어떻게 구할 것인지에 대해 알아보도록 하겠습니다. 미정계수법 - Method of Undetermined Coefficients $y_p$는 미정계수법을 이용해서 구할 수 있습니다. 이 방법은 주로 상수 계수 미분방정식의 풀이에 사용됩니다. $$y'' + ay' + by = r(x)$$ 미정계수법엔 총 세 가지 법칙이 적용됩니다. (a) Basic Rule. 아래 표에 의거하여, $r(x)$에 따라 적당한 $y_p(x)$를 추정한다.
(b) Modification Rule. 만약 rule(a)에 따라 결정한 $y_p$와 homogeneous ODE를 풀어서 구한 $y_h$가 같다면(겹친다면), $y_p$에 $x$(중근과 겹친다면 $x^2$)를 곱해준다. 예제 2.를 통해 더 확실히 이해할 수 있습니다. (c) Sum Rule $r(x)$가 표에 적힌 함수들의 합으로 구성되어 있다면, $y_p$도 그에 해당하는 함수들의 합으로 추정한다. 예제 1. Rule (a)에 대한 예제. $$y'' + y = 0.001x^2,\quad y(0) = 0,\quad y'(0) = 1.5$$ Homogeneous ODE $$y'' + y = 0$$ 의 Characteristic Equation을 구하면, $$\lambda^2 + 1 = 0$$ $$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2= \sin{x}$$ $$y_h = A\cos{x} + B\sin{x}$$ $r(x) = 0.001x^2$이므로 $$y_p = K_2x^2 + K_1x + K_0$$ 로 추정한 후, 미분방정식에 대입합니다. $$y_p' = 2K_2x + K_1,\quad y_p'' = 2K_2$$ $$\Rightarrow \quad (2K_2) + (K_2x^2 + K_1x + K_0) = 0.001x^2$$ $$\Rightarrow \quad K_2x^2 + K_1x + (2K_2 + K_0) = 0.001x^2$$ 계수를 비교하면, $$K_2= 0.001,\quad K_1= 0 ,\quad K_2 = -0.002$$ $$y_p = 0.001x^2-0.002$$ 따라서 general solution은 다음과 같습니다. $$y = y_h + y_p = A\cos{x} + B\sin{x} + 0.001x^2 - 0.002$$ 이제 초기값을 이용해서 상수 A, B의 값을 정합니다. $$y(0) = A - 0.002 = 0\quad \therefore \quad A = 0.002$$ $$y'(0) = B = 1.5$$ $$\therefore\quad y = 0.002\cos{x} + 1.5\sin{x} + 0.001x^2 -0.002$$ 예제 2. Rule (b)에 대한 예제. $$y'' + 3y' + 2.25y = -10e^{-1.5x},\quad y(0) = 1,\quad y'(0) = 0$$ Homogeneous ODE $$y'' + 3y' + 2.25y = 0$$ 의 Characteristic Equation을 구하면, $$ \lambda^2 + 3\lambda + 2.25 = 0$$ $$ \Rightarrow (\lambda + 1.5)^2 = 0$$ $$\therefore \quad y_h = (c_1 + c_2x)x^{-1.5x}$$ $r(x) = -10e^{-1.5x}$이므로 $y_p = Ke^{-1.5x}$로 추정하려고 했으나, $y_h$의 basis $e^{-1.5x}$와 겹치므로, (게다가 $e^{-1.5x}$가 중근이므로) $x^2$을 곱한 $$y_p = Kx^2e^{-1.5x}$$ 를 해로 추정합니다. 이후 $y_p$를 미분방정식에 대입합니다. $$y_p' = 2Kxe^{-1.5x} -1.5Kx^2e^{-1.5x}$$ $$ = K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$ $$y_p'' = K(2-3x)e^{-1.5x} - 1.5K(2x - 1.5x^2)e^{-1.5x}$$ $$ = K(2.25x^2 - 6x + 2)e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad K(2.25x^2-6x+2)e^{-1.5x} +3K(2x-1.5x^2)e^{-1.5x} + 2.25Kx^2e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad (2.25K - 4.5K + 2.25K)x^2e^{-1.5x} + (-6K + 6K)xe^{-1.5x} + 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow 2Ke^{-1.5x} = -10e^{-1.5x}$$ $$\therefore \quad K = -5$$ $$y_p = -5x^2e^{-1.5x}$$ general solution을 구하면, $$y = y_h + y_p = (c_1 + c_2x)e^{-1.5x} -5x^2e^{-1.5x}$$ $$\Rightarrow \quad y = (c_1 + c_2x -5x^2)e^{-1.5x}$$ 초기값을 이용하면, $$y(0) = c_1 = 1$$ $$y'(0) = c_2 - 1.5c_1 = c_2 - 1.5 = 0$$ $$\therefore \quad y = (1+ 1.5x-5x^2)e^{-1.5x}$$ 예제 3. Rule (c)에 대한 예제. $$y'' + 2y' + 0.75y = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x, \quad y(0) = 2.78,\quad y'(0) = -0.43$$ 먼저 Homogeneous ODE의 general solution을 구해보면, $$y_h = c_1e^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x}$$ $r(x) = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$를 보아 $y_p$를 다음과 같이 추정한 후 원래 미분방정식에 대입합니다. $$y_p = A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0$$ $$y_p' = -A\sin{x} +B\cos{x} +K_1$$ $$y_p'' = -A\cos{x} -B\sin{x}$$ $$\Rightarrow \quad (-A\cos{x} -B\sin{x}) + 2(-A\sin{x} +B\cos{x} +K_1) + 0.75(A\cos{x} + B\sin{x} +K_1x + K_0)$$ $$ = (-A + 2B + 0.75A)\cos{x} + (-B-2A+0.75B)\sin{x} + 0.75K_1x + (2K_1 + 0.75K_0)$$ $$ = 2\cos{x} - 0.25\sin{x} + 0.09x$$ 계수를 비교하면, $$-0.25A + 2B = 2$$ $$-2A - 0.25B = -0.25$$ $$0.75K_1 = 0.09$$ $$2K_1 +0.75K_0 = 0$$ $$\therefore \quad A = 0,\quad B = 1, \quad K_1 =0.12, \quad K_2 = -0.32$$ $$\therefore \quad y_p = \sin{x} + 0.12x -0.32$$ 따라서 미분방정식의 general solution은 다음과 같습니다. $$y = y_h +y_p = c_1c^{-0.5x} + c_2e^{-1.5x} + \sin{x} + 0.12x -0.32$$ 초기값을 이용해서 상수값을 구하면 다음과 같은 해를 얻습니다. $$y = 3.1e^{-0.5x} + \sin{x} +0.12x-0.32$$ |
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