순열과 조합 과학 - sun-yeolgwa johab gwahag

본 연구에서는 형식적인 학습에 익숙해져 실세계 맥락의 문제해결능력이 부족하고, 수학을 일상생활과 유리되어 있는 추상적인 교과로 인식하여 흥미가 부족한 우리나라 학생들에게 실생활 문제를 수학적 모델을 이용하여 문제를 해결하도록 한다. 특히 순열과 조합 단원에서 정형적이고 인위적인 문제를 공식적용에 치우쳐 해결하여 공식에서 변형된 문제에 대해 어려움을 느끼므로 순...

본 연구에서는 형식적인 학습에 익숙해져 실세계 맥락의 문제해결능력이 부족하고, 수학을 일상생활과 유리되어 있는 추상적인 교과로 인식하여 흥미가 부족한 우리나라 학생들에게 실생활 문제를 수학적 모델을 이용하여 문제를 해결하도록 한다. 특히 순열과 조합 단원에서 정형적이고 인위적인 문제를 공식적용에 치우쳐 해결하여 공식에서 변형된 문제에 대해 어려움을 느끼므로 순열과 조합단원의 수학적 모델을 이용하여 실생활 문제를 해결함으로서 확실한 개념이해와 문제의 본질을 파악하고자 한다.

이러한 연구목적을 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
1. 순열과 조합 단원에서 실생활 문제를 문제변인에 따라 유형별로 분류한다.
2. 순열과 조합 단원의 실생활 문제를 수학적 모델을 이용하여 유형 간 상호 변환하여 제시한다.

연구 결과로 연구문제1에 대해 분배문제가 36.1%로 가장 많은 비율을 차지하였고, 선택문제(33.3%), 선택+분배문제(19.4%), 분할문제(11.1%) 순으로 순열과 조합 단원 실생활 문제가 구성되어있었다. 연구문제2에 대해 순열과 조합 단원의 실생활 문제를 수학적 모델을 이용하여 유형 간 상호 변환함으로서 다양한 유형을 경험해 볼 수 있도록 한다.
이상으로부터 실생활 문제를 통해 수학의 유용성을 깨닫고, 수학이 흥미가 있고 실용적인 과목임을 인식하는데 도움을 주도록 한다. 수학적 모델을 이용해 실생활 문제의 유형 간의 상호 변환함으로서 순열과 조합의 다양한 문제 유형을 경험 하여 공식의 재생산이 아닌 주어진 문제 상황을 이해함으로서 문제 상황을 파악하는 능력을 기를 수 있고, 개념의 이해를 돕도록 한다.

Abstract
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This study proposes a mathematical modeling for the problem-solving of Korean students, who lack not only the solving skills for real-life problems because they are accustomed to formal curricula but also the interest in mathematics because the subject is perceived as one that is abstract and detach...

This study proposes a mathematical modeling for the problem-solving of Korean students, who lack not only the solving skills for real-life problems because they are accustomed to formal curricula but also the interest in mathematics because the subject is perceived as one that is abstract and detached from everyday life. Especially, the students rely greatly on the application of formulas when solving routine problems in the ‘Permutation and Combination’ chapter, and thus experience hardship in problems that require modification of the formulas. By solving real-life problems in the ‘Permutation and Combination’ chapter with mathematical modeling, students are expected to gain a better understanding of the mathematical concepts and the ability to grasp the essence of the problems. For this purpose, the following study objectives were established:

1. Real-life problems from the ‘Permutation and Combination’ chapter are classified into categories according to the problems’ variables.
2. Solutions for the classified real-life problems are proposed through mathematical model. The problems are converted into those of another category before being presented to the students.

Among the ‘Permutation and Combination’ real-life problems, distribution problems were the most common (36.1%), followed by selection (33.3%), selection + distribution (19.4%) and division (11.1%) problems. This process can help the students recognize the usefulness of mathematics and appreciate the appeal and utility of the subject. Moreover, converted another category will help the students develop the ability to perceive the situation given in a ‘Permutation and Combination’ problem without having to depend on formulas.

순열과 조합은 밀접하게 관련된 두 가지 개념입니다. 그들은 비슷한 기원에서 벗어난 것처럼 보이지만 그 자체로 의미가 있습니다. 일반적으로 두 분야는 '객체 배열'과 관련이 있습니다. 그러나 약간의 차이로 인해 각 제약 조건이 다른 상황에 적용됩니다.

'결합'이라는 단어를 통해 '사물 결합'또는 구체적으로 '대규모 그룹에서 여러 개체 선택'에 대한 아이디어를 얻을 수 있습니다. 이 특정 상황에서 조합을 찾는 것은 '패턴'또는 '주문'에 초점을 맞추지 않습니다. 이것은 다음 예제에서 명확하게 설명 될 수 있습니다.

토너먼트에서, 두 팀이 조우에서 충돌하지 않는 한 두 팀이 나열되어 있어도 상관 없습니다. ‘X’팀이‘Y’팀과 경기하거나‘Y’팀이‘X’팀과 경기를한다면 차이가 없습니다. 둘 다 비슷하며 중요한 것은 순서에 관계없이 서로를 상대로 플레이 할 수있는 기회를 얻는 것입니다. 따라서 조합을 설명하는 좋은 예는 사용 가능한 플레이어 수 'n'명 중 'k'수의 플레이어로 팀을 구성하는 것입니다.

엔케이 (또는 n_k) = n! / k! (n-k)! 일반적인 '조합'기반 문제에 대한 값을 계산하는 데 사용되는 방정식입니다.

반면‘순열’은‘순서’에 우뚝서는 것입니다. 즉, 배열이나 패턴이 순열에서 중요합니다. 따라서 '순열'이 중요 할 때 순열이 온다고 간단히 말할 수 있습니다. 이는 또한‘조합’과 비교할 때‘순열’이 시퀀스를 즐겁게할수록 숫자 값이 더 높다는 것을 나타냅니다. '순열'의 그림을 명확하게 가져 오는 데 사용할 수있는 매우 간단한 예는 1,2,3,4의 숫자를 사용하여 4 자리 숫자를 구성하는 것입니다.

5 명의 학생 그룹이 연례 모임을 위해 사진을 찍을 준비를하고 있습니다. 그들은 오름차순 (1, 2, 3, 4, 5)으로 앉고 또 다른 사진을 위해 마지막 두 사람은 좌석을 서로 바꾼다. 이제 순서가 (1, 2, 3, 5 및 4)이므로 앞서 언급 한 순서와 완전히 다릅니다.

엔케이 (또는 n ^ k) = n! / (n-k)! '순열'지향 질문을 계산하는 데 적용되는 방정식입니다.

서로 다른 상황에서 사용해야하는 올바른 매개 변수를 쉽게 식별하고 주어진 문제를 해결하려면 순열과 조합의 차이를 이해하는 것이 중요합니다. 일반적으로 '순열'은 우리가 볼 수 있듯이 가치가 더 높아집니다.

엄마: 맞아. DNA나 RNA는 4가지 종류의 염기들로 유전정보를 암호화하고 있단다. 다시 말해 염기가 어떤 순서로 나열되는지에 따라 다른 정보를 담고 있는 것이지. 이 염기 배열에 숨어 있는 수학을 살펴볼까?

신종 코로나바이러스 감염증(코로나19)에 대한 정보를 접할 때마다 RNA가 등장합니다. 코로나19 바이러스와 질환의 원인이 되는 사스코로나바이러스-2는 RNA를 유전체로 지닌 RNA바이러스라 합니다. 지금의 바이러스와의 전쟁에서도 계속 등장하고 있는 화이자, 모더나 백신 등도 메신저 RNA라 불리는 mRNA백신이지요. 그런데 얼마 전 인도에서 코로나19 백신 가운데 DNA 백신이 긴급승인된 첫 사례가 되었다는 뉴스가 전해졌습니다. 전문가들은 또 다른 새로운 백신이 전 세계 코로나19 대응 전선에 합류했다고 평가하고 있으며 국내 기업들이 진행 중인 DNA 백신 임상에도 긍정적인 신호로 작용할지 주목된다고 합니다.

RNA는 그 역할에 따라 명칭이 조금씩 다릅니다. 공장에서 물건을 만드는 활동에 비유해 다양한 RNA를 살펴볼까요. 신제품(단백질)을 만드는 설계자(DNA)가 있다고 합시다. 그럼 DNA의 설계도면을 공장에 전달하는 RNA가 있습니다. 이 RNA는 ‘전령(messenger)’의 앞 글자를 따서 mRNA라고 부릅니다. 공장의 기술자들은 전달된 도면을 보면서 필요한 재료인 아미노산을 주문하고, 재료가 공장에 도착하면 설계 도면에 맞게 조립해서 완제품인 단백질을 만들어 낼 겁니다. 이때 공장에서 주문한 재료를 구해 기술자에게 가져다주는 RNA도 있습니다. ‘운반자(transfer)’라는 뜻으로 tRNA라고 부릅니다. tRNA가 가져온 재료들을 활용해 설계도면에 따라 완제품을 만드는 RNA는 단백질을 만드는 세포기관의 이름인 ‘리보솜(ribosome)’을 따서 rRNA라고 합니다. 일반적으로 RNA라 하면 mRNA를 의미합니다.

코로나19의 백신으로 잘 알려진 mRNA 백신은 코로나바이러스의 구조에 나타난 공격형 스파이크단백질의 유전정보를 담은 mRNA를 주사함으로써, 진짜 스파이크단백질과 똑같이 생긴 ‘가짜 스파이크단백질’이 우리 몸에서 스스로 생성되도록 합니다. 만들어진 가짜 스파이크단백질을 이용하여 우리 몸속 면역세포들이 바이러스와 싸울 수 있는 항체를 스스로 만들어내는 원리인 것이지요. 화이자와 모더나 백신이 그 예이고 근육주사를 이용합니다.

DNA는 당과 인산, 염기로 구성되어 있고 그중 정보를 암호화하는 염기의 종류는 네 가지입니다. 아데닌(A), 시토신(C), 구아닌(G), 티민(T)으로 모두 작고 단순한 분자입니다. 생명체의 DNA는 이러한 염기쌍 등을 차곡차곡 쌓아올린 무더기로 생물학자 크릭과 왓슨은 이중 나선구조를 이룬다는 것을 밝혀냈습니다. 이후 물리학자 가모브는 수학적 사고 실험으로 DNA 염기서열이 세 글자 암호로 아미노산 서열을 표현한다는 것을 예측합니다. 우리도 수학 사고실험에 참여해볼까요?

네 염기를 각각 A, C, G, T라는 글자로 나타내 봅시다. 이 네 글자를 사용하여 두 글자로 만들 수 있는 낱말은 AA, AC, AG,… , TT로 (첫 번째 글자의 경우의 수)×(두 번째 글자의 경우의 수)=4×4=16개가 나옵니다. 이에 따르면 한 글자짜리 낱말은 4개이고, 한 글자와 두 글자 낱말을 합하면 4+16=20개라는 것을 알 수 있습니다. 그러나 [AACGCTATTG…]과 같이 나열된 염기서열에서 연속한 AA가 두 글자 낱말인지 한 글자 낱말 A가 2개인지 구분이 어렵습니다. 그래서 길이를 고정한 낱말을 약속해서 사용할 필요가 있습니다. 따라서 두 글자 낱말로는 20개의 아미노산을 표현하기에 모자라기 때문에 적어도 세 글자짜리 낱말을 사용합니다. 세 글자짜리 낱말은 같은 방법으로 4×4×4=64개가 되어 아미노산을 지정하여 넉넉하게 사용할 수 있습니다. 이보다 더 긴 낱말을 사용하면 매우 비경제적이게 됩니다. 실제로 여러 생물학자의 연구에 의해 3개의 염기 서열에 의해서 아미노산이 결정된다는 것이 밝혀졌습니다.

mRNA를 통해 단백질을 만들어내는 인간의 유전자는 3만∼3만5000개 정도로 추정됩니다. 연속된 아미노산 서열에 해당하는 DNA 유전 암호를 예측하고 이를 활용하는 것은 여전히 중요한 이슈입니다. 이제는 DNA 염기서열 분석법인 차세대 분석 기술이 개발되면서 대용량 DNA 서열 정보의 병렬적 분석이 가능해졌습니다. 이로 인해 한 개체의 유전정보나 전사체 등 다양한 계층의 데이터 세트가 생산되고 축적되고 있으며 이를 이용한 유전자 합성, 유전자 편집 등 생명공학 분야에 활용되고 있습니다.

코로나19로 인류의 고통이 길어지고 있습니다. 하지만 고난 속에서 우리는 지속적으로 수학, 과학적 호기심을 자극받아 연구를 계속해 나갑니다. 생명과학에서 기초가 되는 수학에 대해 깊이 탐구해보는 계기가 되면 좋겠습니다.