어디에 쓰이나요? Show 뭐 시계가 원인 이유가 재료가 가장 적게 들어가서 그렇기 때문이고.. 그런건 알겠는데 복소수 어디에 쓰이나요? 얼추 들은바로는 무슨 공식(다 안써주셔도 되요. 그냥 공식 명칭만) 에 의해 어떤데 적용해 쓴다라고 들었는데.. 참고로 어설픈 지식 가진 특히 초중..고등학생은 사절입니다. re: 복소수가 실생활에 쓰이는(수학적 ㄴㄴ)예 이것도 실생활에 쓰이는 건진 확실히 말할수 없지만 암튼 쓰인다고 저는 생각합니다. 저의 얇은 지식이지만... 바로 우리가 일상생활에 쓰이는 전기 제품들 있잖아요... 그것은 모두 전기 회로가 들어있습니다. 그리고 공학자들이 반도체나 여러가지 전기부품들을 만들때 회로를 구성해야되는데 우선적으로 볼게 회로해석입니다...회로해석이란것은 회로를 보고 이 회로가 올바르게 작동하는지 이론적으로 계산을 하는 것입니다. 여기서 직류전류상태에서는 복소수라는 것이 쓰이지 않지만 교류 상태에서는 복소수가 쓰이게 됩니다. 즉 정현파 소스일때... 여기서 정현파는 시간에따라 크기가 변화지만 주파수는 같습니다. 간단하게 사인이나 코사인을 생각하면 됩니다. 여기서 e^iwt = coswt + i sinwt 라는 공식이 적용됩니다. 이것은 그 유명한 오일러 코시 방정식입니다....이식을 아마 얘기하시는 듯... 여기서 i가 복소수...w는 주파수.. t는 시간을 의미 그리고 이식은 교류 상태에서 다음 식으로 바꿔씁니다. e^ i(wt+#) = cos(wt + # ) + i sin (wt+ #) .. 여기서 #는 쉐타 입니다..각이죠....쉐타 모양...뻔데기라하나..이것이 키보드에 없기에 그냥 대충 샵기호로 했습니다... 그리고 저식은 다시 표현하면 e^i# * e^iwt 로 나타낼수있습니다. e^i#이것은 위상을 의미하며 e^iwt 이것은 주파수를 의미합니다. 그리고 앞에서 말한 식들은 교류상태에서의 RLC회로 해석에 유용하게 사용됩니다. 또한 이 교류상태의 회로를 더 간단하게 해석하기 위하여 Phasor circuit 라는 회로로 만들어서 풀기도 하는데 여기서도 복소수가 사용됩니다..교류상태에서의 저항은 그대로 그 값을 유지하지만 인덕터나 커패시터는 저항 값이 변화게 됩니다. 그래서 여기서 복소수가 사용되어 커패시터의 저항 값은 -i/wc 옴이 되며 인덕터의 저항값은 iwL 옴이 됩니다... 이렇게 저항값을 다변화시켜주고 회로 해석을 하는 방법도 있습니다. 거기에 대한 설명은 길어서 생략.... 암튼 저의 결론은 복소수는 오일러 코시방정식에 의해 회로해석하는데 사용된다는것.. 그 회로해석은 바로 우리가 쓰고 있는 모든 전자제품에 쓰이고 있다는 것...ok?? 복소수가 없었으면 현대과학이 이만큼 발전하지 못했다고 생각하면 됩니다. 예를 양자역학에서는 입자의 파동함수를 복소수로 기술하는데, 양자역학은 재료역학 등에 쓰여서 반도체의 중요한 이론이 됩니다. 즉, 부풀려서 말하면 현대과학의 산물이라고 할 수 있는 반도체에 복소수가 들어있는 것입니다. 여기서 가장 중요한 공식이라고 하면 윗 분이 말했듯이 오일러 공식이라고 해서 eix =
cosx + isinx 입니다. 이 공식이야말로 수학자들과 과학자들이 그렇게 입이 닳도록 찬양하는 공식(-_-;;)입니다. 저 공식은 회전과 깊은 연간이 있으며, 이를 이용하여 2차원 회전이나 파동을 간결하게 기술할 수 있습니다. 덕분에 교류와 같은 파동도 설명할 수 있고, 푸리에 정리와 연결시키면 임의의 파동을 저 복소수로 기술할 수 있습니다. 푸리에 변환 하니까 생각나는데, 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform, 이하 FFT)와 같은 기술에서도 복소수를 이용합니다. 음악을 들을 때 그 오르락내리락 하는 막대가 모두 FFT의 결과이며, 이 기술은 MP3 압축 등에도 이용됩니다. 그야말로 복소수는 우리와 뗄 수 없는 관계이지요. [오른쪽의 막대기들이 모두 FFT의 결과입니다] 복소수는 그 자체로서도 아름답습니다. 질문하신 분께서 이 아름다움을 접할 기회가 있으면 좋겠다는 생각을 하네요. 복소수(complex number)는 [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]로 표현([math]\displaystyle{ \displaystyle a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} }[/math])되는 수이다. 실수체에 허수단위 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]를[1] 추가한 확대체([math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{C}=\mathbb{R}(i) }[/math])로 표현가능하다. 집합 표현으로는 [math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{C} }[/math]를 사용한다. 엄청나게 쓸모있다. 1 활용 분야[편집]수학, 공학, 물리에서 너무나도 많이 쓰인다. 그냥 숨 쉬는 공기 같이 쓰이는 존재다. 수학적 실재론에 별 거부감이 없는 경우, 그냥 ‘자연에 복소수가 있다’는 식으로 표현해도 된다. 하지만 안타깝게도 고등학교에서는 이 사실을 제대로 짚고 넘어가질 않는 듯하며 복소수로 뻘짓만 하다가 끝나는 경우가 많다. 사칙연산을 다룬 이후에는 교과서에 다시 등장하지 않는다.
뭐 이외에도 그냥 밥 먹듯이 등장한다. 2 정의[편집][math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]라는 추상개체를 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt{-1} }[/math]라고 정의하는데서부터 모든것이 시작된다. a와 b가 실수일 때 [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]라는 숫자들을 복소수라고 한다. 복소수를 더하거나 곱할 때에는 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]라는 깐죽쟁이는 따로 모아서 정리하는 식으로 한다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i }[/math] 으로 정의하고, [math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)\times(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i }[/math] 으로 정의한다. 뺄셈 나눗셈도 마찬가지다. 그대신 나누기는 처음 보면 생소할 수도 있다. [math]\displaystyle{ \displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i }[/math] 으로 정의하며, [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i }[/math] 으로 정의한다. 3 복소평면[편집]그런데 위에서 하듯이 정의를 하면 정작 복소수가 정말로 중요한 이유를 보기가 힘들다. 복소수가 정말로 중요한 이유중 하나는 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]이기 때문이다. 이걸 시각화 하기 위해 복소평면이란 것을 생각하자. 복소평면이란, [math]\displaystyle{ \displaystyle a+bi }[/math]라는 복소수를 평면 위의 점 [math]\displaystyle{ \displaystyle (a,b) }[/math]로 보겠다는 것이다.[2] 굳이 왜 이렇게 할까? 이렇게 하면 곱셈과 나눗셈에 대한 새로운 멋진 직관을 얻을 수 있기 때문이다. 그 직관을 말하기 위해 [math]\displaystyle{ \displaystyle (r, \theta)_\text{polar} }[/math]를 복소수 [math]\displaystyle{ \displaystyle r\cos \theta + i r\sin \theta }[/math]와 같다고 하자.[3] 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle (r, \theta)_\text{polar} }[/math]은 양의 x축 방향과 [math]\displaystyle{ \displaystyle \theta }[/math]의 각(동경)[4]를 이루며 길이가 [math]\displaystyle{ \displaystyle r }[/math]인 벡터가 가리키는 점으로 정의하는 것이다. 그렇다면 위에서 명백히 보이지 않던 놀라운 사실을 하나 알 수 있게 된다: [math]\displaystyle{ \displaystyle (r_1 ,\theta_1)_\text{polar}\cdot (r_2,\theta_2)_\text{polar} =( r_1r_2, \theta_1 + \theta_2)_\text{polar} }[/math] 즉, 복소수 두 개의 곱은 복소평면에서 아주 기하학적인 표현이 가능한 것이다: 두 점을 곱하면 원점에서의 거리가 곱해지고 양의 x축 방향과 이루는 각도가 더해진다는 것이다! 이게 왜 그럴까? 직접 정의를 풀어헤쳐보면 이게 삼각함수의 덧셈정리와 정확히 같은 것을 알 수 있다. 하지만 정작 더 예쁜 이유는 따로 있다. 그게 바로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]이다. 4 오일러의 식: [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math][편집]이게 오일러의 식이다. 위의 표기법대로 다시 쓰면 [math]\displaystyle{ \displaystyle (1, \theta)_\text{polar} \sim e^{i\theta} }[/math]라고 다시 쓸 수도 있으리라. 근데 이 식이 애초에 의미하는 바가 무엇일까? 대체 뭘 어떻게 하면 e의 복소수 승 할 수 있는 거지? 이것을 설명하기 위하여 아예 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^x }[/math]라는 함수를 임의의 복소수 값에 대해서 새로 정의한 후, 좌변과 우변을 비교해 볼 수도 있다. 하지만 여기서는 좀 더 직관적인 설명에 대해 우선 알아보고, 그 후에 정의를 논해보자. 4.1 직관적인 설명: 복소평면 위의 곡선[편집]이 논의는 바로 "음, 정말로 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)=e^{ix} }[/math]라는 표현이 복소수라면, 어떤 식으로 행동하는 녀석일까?"라고 궁금증을 던지는 데에서부터 시작된다. [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x) }[/math]를 각 실수 x마다 복소평면 위에 점을 찍는 것이라고 생각한다면, 마치 우리는 x가 시간이라고 생각해봐도 무리가 없을 것이다. 즉 시간을 나타내기 위해 x를 t라고 한번 써보면, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]는 시간에 따라 (복소)평면 위를 꾸물꾸물 움직이는 점의 궤적일 것이다. 얘가 어떻게 움직이는지를 보기 위해 속도벡터를 한번 보자. 이 궤적의 속도벡터는 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}f(t) }[/math]이다. 그런데 우리가 이미 실수 [math]\displaystyle{ \displaystyle c }[/math]에 대해 알고 있는 사실이 바로 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}e^{ct}=c\cdot e^{ct} }[/math]이다. 따라서 정말로 자연스럽게 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t)=e^{it} }[/math]를 정의하려면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{d}{dt}e^{it}=i\cdot e^{it} }[/math]이어야 할 것이다. 즉, 속도벡터가 위치벡터의 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]배라는 것이다. 근데 복소수의 가장 원초적인 정의로 돌아가서 이게 대체 뭘 의미하는지 곱씹어보자. [math]\displaystyle{ \displaystyle i(x+iy)=i^2 y + ix = -y + ix }[/math]로, 조금만 머리를 쓰보면 [math]\displaystyle{ \displaystyle i }[/math]를 곱함으로써 원래 벡터가 원점에 대해 90도 회전했다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리의 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t)=e^{it} }[/math]의 [math]\displaystyle{ \displaystyle t=t_0 }[/math]일 때의 속도벡터는 항상 원점으로 그은 선분에 수직함을 알 수 있다. 이제 사실상 게임 끝난것과 마찬가지다. 좀 더 지켜보라. 이제 한번 원점을 중심으로 한 동심원들을 빽빽하게 그려서 평면을 가득 채워보자 foliation . 이렇게 한 후 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]의 궤적을 스케치했다고 치고 아무렇게나 곡선을 그려보자. 그러면 바로 알 수 있는 사실이, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]가 빽빽히 그려놓은 동심원 중 하나를 따라가다가 벗어날 때 바로 속도벡터가 위치벡터와 수직이 아닌 것을 알 수 있다! 즉, 속도벡터와 위치벡터가 수직이게 하고 싶으면 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]를 감히 원 하나에서 벗어나게는 할 수 없다는 것이다. 즉, [math]\displaystyle{ \displaystyle f(t) }[/math]의 궤적은 하나의 원이 된다. 더불어 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(0)=e^{i\cdot 0}=e^0=1 }[/math]이므로 이 원은 바로 반지름 1짜리 원인 것이다. 속도가 일정해야 하므로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{it} }[/math]가 양의 x축 방향과 이루는 각도는 [math]\displaystyle{ \displaystyle t }[/math]여야 하고, 따라서 원하던 대로 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{it}=\cos t + i\sin t }[/math]임을 알 수 있게 되었다. 4.2 "증명"과 정의[편집]미적분을 열심히 해보면 실수 [math]\displaystyle{ \displaystyle z }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^z,\sin z, \cos z }[/math]의 테일러 전개가 다음과 같음을 알 수 있다: [math]\displaystyle{ \displaystyle e^z = 1+\frac {z^1}{1!}+\frac {z^2}{2!}+\frac {z^3}{3!}+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ \displaystyle \sin z = z-\frac {z^3}{3!}+\frac {z^5}{5!}-\frac {z^7}{7!}+\cdots }[/math] [math]\displaystyle{ \displaystyle \cos z = 1-\frac {z^2}{2!}+\frac {z^4}{4!}-\frac {z^6}{6!}+\cdots }[/math] 그리고 아예 [math]\displaystyle{ \displaystyle z }[/math]를 실수에서 복소수에 대해 확장해서 정의된 것으로 치고 정의를 완전히 똑같이 반복할 수 있다. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x }[/math]는 값을 직접 집어넣어서 바로 확인할 수 있게 된다. 5 개요: 복소수의 미적분[편집]복소수에서 미적분하면 짱짱맨이다. 실수에서 미적분 하는 것보다 훨씬 더 예뻐진다. 물론 미분과 적분은 따로 다 정의해야 하겠지만 그것들을 논의하기 전에, 그 정의를 만들면 어떤 놀라운 성질들을 만족하는지에 대해 말해보겠다.
5.1 복소 미분[편집]5.1.1 직관[편집][math]\displaystyle{ \displaystyle \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 }[/math]인 실수 함수가 "미분가능하다"고 하는 것은 국소적으로 선형변환으로 근사가 가능하다는 것이다. 복소적인 미분가능성은 한 걸음 더 나아가서 함수의 국소적 작용이 선형변환 중 특히 착한 놈인 회전&확대변환이라는 것을 뜻한다. 회전&확대변환은 정확히 복소수를 곱하는 작용을 뜻한다. 5.1.2 코시-리만 방정식[편집][math]\displaystyle{ \displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y) }[/math]가 [math]\displaystyle{ \displaystyle z_0 = x_0 + iy_0 }[/math]에서 미분가능하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle z_0 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x=v_y, u_y=-v_x }[/math]를 만족한다. [math]\displaystyle{ \displaystyle f'(z_0)=u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0) =v_y (x_0, y_0) - iu_y (x_0, y_0) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y }[/math]을 [math]\displaystyle{ \displaystyle f=u+iv }[/math]의 코시-리만 방정식이라 한다. 5.2 복소 적분[편집]5.2.1 코시 적분공식[편집]5.2.2 잉여 공식[편집]5.2.3 Argument Principle[편집]6 다른 신기한 것들[편집]6.1 Weierstrass Factorization Theorem[편집]6.2 Gamma 함수[편집]6.3 제타 함수[편집]6.3.1 Analytic Continuation[편집]6.3.2 함수방정식[편집]6.3.3 소수정리와 리만가설[편집]7 각주
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