이항정리 공식 증명 - ihangjeongli gongsig jeungmyeong

이항정리 증명

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이항정리 증명

Proof of the Binomial Theorem

정리

$$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$ 여기서 ${_n C _r}$ 를 이항계수Binomial Coefficient라 정의한다. $$ {_n C _r} = \binom{n}{r} = {{ n! } \over { r ! (n-r)! }} $$

설명

고등학교에서 배우는 것 치고는 놀랍게도 배우자마자 여러군데 쓸데가 보이는 정리다. 생김새가 자유롭기 때문에 많은 공식을 단번에 유도해낼 수 있으며 분야를 가리지 않고 많이 쓰인다.

증명

$(x+y)^{n}$ 을 전개할 때 $x^{r} y^{n-r}$ 의 계수는 $$ (x+y)^{n} = (x+y)(x+y)(x+y) \cdots (x+y) $$ 의 각 $(x+y)$ 중에서 $x$를 $n$개, $y$를 $n-r$개 선택하는 것과 같다. 따라서 조합 $_n C _r$ 이 $x^{r} y^{n-r}$ 의 계수가 되므로 $$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{r} y^{n-r} $$

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KoreanFoodie's Study

수학 개념 정리/공식 : 이항정리, 이항계수의 성질, 파스칼의 삼각형 본문

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이항정리

$ n $이 자연수일 때 $ (a+b)^n $의 전개식은 다음과 같다.

\begin{align*}
(a+b)^n &= \phantom{}_n\mathrm{C}_0 a^n + \phantom{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_nb^n \nonumber\\
&= \sum_{r=0}^{n}\phantom{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r
\end{align*}

이를 이항정리라 하고, $ \phantom{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r $을 일반항, $ \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} $, $ \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{1} $, $ \cdots $, $ \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} $을 이항계수라 한다.

다음 식의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\phantom{}_{10}C_{0} - 3 \phantom{}_{10}C_{1} + 3^2 \phantom{}_{10}C_{2} - \cdots + 3^{10} \phantom{}_{10}C_{10}
\end{gather*}

$ (1-3)^{10} = 1024 $

$ (x+2y)^6 $의 전개식에서 $ x^4 y^2 $항의 계수를 구하여라.

$ (x+2y)^6 $의 일반항은

\begin{gather*}
\phantom{}_6C_rx^{6-r}(2y)^r = \phantom{}_6C_r \cdot 2^r x^{6-r}y^r
\end{gather*}

$ r=2 $이므로 계수는

\begin{gather*}
\phantom{}_6C_2 \cdot 2^2 = 60
\end{gather*}

이항계수의 성질

1. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 2^n $
2. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 - \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 - \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + (-1)^n\phantom{}_n\mathrm{C}_n = 0 $
3. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_4 + \phantom{}_n\mathrm{C}_6 + \cdots = 2^{n-1} $
4. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \phantom{}_n\mathrm{C}_5 + \phantom{}_n\mathrm{C}_7 + \cdots = 2^{n-1} $

1. $ \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{0} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{1} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{2} + \cdots + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{8} = 2^8 $
2. $ \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{0} - \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{1} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{2} - \cdots + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{8} = 0 $
3. $ \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{0} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{2} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{4} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{6} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{8} = 2^7 $
4. $ \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{1} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{3} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{5} + \phantom{}_{8}\mathrm{C}_{7} = 2^7 $

증명

1. $ (1+x)^n = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 x + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_r x^r + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n x^n $
   에서 $ x=1 $을 대입한다.
2. $ (1+x)^n = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 x + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_r x^r + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n x^n $
   에서 $ x=-1 $을 대입한다.
3. 1과 2를 더한 후 $ 2 $로 나눈다.
4. 1에서 2를 뺀 후 $ 2 $로 나눈다.

파스칼의 삼각형

1. $ \phantom{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1} + \phantom{}_{n-1}\mathrm{C}_{r} = \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{r} $
2. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_{n+1}\mathrm{C}_1 + \phantom{}_{n+2}\mathrm{C}_2 + \cdots + \phantom{}_{n+m}\mathrm{C}_m = \phantom{}_{n+m+1}\mathrm{C}_m $
3. $ \phantom{}_n\mathrm{C}_n + \phantom{}_{n+1}\mathrm{C}_n + \phantom{}_{n+2}\mathrm{C}_n + \cdots + \phantom{}_{n+m}\mathrm{C}_n = \phantom{}_{n+m+1}\mathrm{C}_{n+1} $

1. $ \phantom{}_7\mathrm{C}_3 + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_4 = \phantom{}_{8}\mathrm{C}_4 $
2. $ \phantom{}_2\mathrm{C}_0 + \phantom{}_{3}\mathrm{C}_1 + \phantom{}_{4}\mathrm{C}_2 + \phantom{}_{5}\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_{9}\mathrm{C}_7 = \phantom{}_{10}\mathrm{C}_7 $
3. $ \phantom{}_3\mathrm{C}_3 + \phantom{}_{4}\mathrm{C}_3 + \phantom{}_{5}\mathrm{C}_3 + \phantom{}_{6}\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_{9}\mathrm{C}_3 = \phantom{}_{10}\mathrm{C}_4 $

잡동사니

1. $ n=2k-1 $일 때, $ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{k} = 2^{n-1} $
2. $ n=2k-1 $일 때, $ \phantom{}_n\mathrm{C}_{k+1} + \phantom{}_n\mathrm{C}_{k+2} + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{n} = 2^{n-1} $
3. $ \displaystyle \sum_{r=0}^{n} \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{r} \cdot \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-r} = \phantom{}_{2n}\mathrm{C}_{n} $
4. $ (a+b+c)^n $의 전개식에서 $ a^p b^q c^r $의 계수는
   \begin{gather*}
   \frac{n!}{p!q!r!} \ \ (\textrm{단}, \ p+q+r=n)
   \end{gather*}

1. $ \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{0} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{1} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{2} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{3} = 2^{7-1} = 2^6 $
2. $ \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{4} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{5} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{6} + \phantom{}_{7}\mathrm{C}_{7} = 2^{7-1} = 2^6 $