시그마 합 공식 증명 - sigeuma hab gongsig jeungmyeong

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[수열] 시그마 공식 증명; Σ 공식 유도: 자연수의 거듭제곱의 합; 시그마 증명; 시그마 k 합; 시그마 k 제곱 합; 시그마 k 세제곱 합

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2020. 3. 11. 2:40

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자연수의 거듭제곱의 합인

Σ(시그마) 공식은 다음과 같습니다.

[시그마 합 공식 유도]

​

공식 [1] 유도

등차수열의 합 공식은

아래 링크 참고!

[수열] 등차수열의 합 공식 유도

등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn 이라 하자. 첫째항이 a, 제n항이 l 일 때 첫째항이 a, 공차가...

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공식 [2] 유도

공식 [3] 유도

[예제 1]

[예제 2]

[예제 3]

시그마를 여러 개 포함한 식의 계산

[부분분수]

분수꼴의 수열의 합 계산 방법

[수열] 부분분수 합: 분모가 곱으로 표현된 수열의 합

부분분수의 식은 다음과 같다. 이를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. [예제] [참고] 다음과 같은 분...

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[메가마인드수학] 이성근 원장: 내신, 수능, 수리논술, 중등~고등부 연계; 일산 메가마인드수학; 후곡 메가마인드수학

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안녕하세요~

오늘은 거듭제곱의 합을 구하는 공식에 대해서

알아보도록 할께요~

​

거듭제곱의 합을 구하는 공식은

위와같이 총 세가지가 있는데요~

​

1)의 경우는 등차수열의 합을 이용하여

합을 구하면 쉽게 구할 수 있습니다.

등차수열의 합 구하는 공식 알고 계시죠?

앞서 수열의 종류에서 다루었으니

기억이 나지 않는 분은 다시 복습하고 오세요~

​

​

시그마k의 합을 나열하면 등차수열의 합이 되고

공식을 적용하면 위와 같은 공식을 얻을 수 있어요

많이 출제되는 공식이니 꼭 암기해주세요~

​

2)의 시그마k제곱 공식의 증명은

식이나 도형 등 여러가지 방법이 있는데요~

제가 한 방법은 곱셈공식을 이용하는 방법입니다.

(k+1)의 3제곱을 전개하여

k가 1, 2, 3, ....n일 때의 식을 정리하여

다 더하여 구하는 방법입니다.

증명을 하나씩 보면 이해가 되시겠죠?

식이 길어서 어렵게 느껴질 수도 있지만

그냥 대입한 식을 정리만 하면 쉽게 얻을 수 있으므로

직접 증명을 해 보셨으면 합니다.

그래야 기억에 오래 남으니까요~

​

시그마 k 세제곱 공식도 마찬가지로

곱셈공식을 이용하여 증명할 수 있습니다.

(k+1)의 네제곱을 전개하여

k값이 1, 2, 3, ....., n일 때의 값을 구하여

다 더한 후 식을 정리하면

시그마 k 세제곱 공식을 얻을 수 있습니다~

​

증명을 보니 생각보다 할 만 하죠?

시그마k제곱 공식은

다양한 수열문제를 해결할 때

많이 사용되기 때문에

반드시 확실하게 암기하셔야 합니다~

​

이제 몇 가지 예를 살펴보도록 하겠습니다.

그 전에 시그마의 성질을 알고 있어야 하는데요~

시그마의 성질은 상수배나 덧셈, 뺄셈은

각각의 시그마를 분배할 수 있으나

곱셈, 나눗셈은 되지 않는다는 것입니다.

​

시그마k제곱 공식에서 주의할 점은 항상 1부터 n까지의

합을 구할 때만 사용이 가능하다는 것입니다.

위의 문제처럼 k=3부터 20까지의 합을 구하는 경우

1부터 20까지의 합에서 1부터 2항까지의 합을 빼는

것입니다~

어디부터 더하는지만 주의하시면

그대로 공식을 적용하면 되니까 크게 어렵지 않죠?

​

이 문제의 경우 규칙성을 알아야 합니다.

k를 1항부터 10까지의 합에서 2항부터 10항까지,

3항부터 10항까지, .... 마지막 10항의 값의

합을 구하는 규칙을 그대로 나열하면

위와같은 사실을 알 수 있습니다.

따라서 이러한 규칙으로 나열되는 합은

시그마k제곱이 된다는 것을 기억하시면

문제를 풀 수 있으니 기억하셨으면 합니다.

또한 시그마공식을 사용하기 어려운 경우는

그 합을 나열하여 규칙을 발견하도록 하시는 것이

좋습니다.

​

마지막 문제는 시그마의 성질과 관련된 것입니다.

시그마는 나눗셈에 대한 공식이 없기 때문에

분모를 없애야 값을 계산할 수 있습니다.

따라서 식을 정리하여 분모를 약분하고

시그마 공식을 사용하여 값을 계산하면 됩니다.

​

몇 가지 예를 살펴보았는데요~

거듭제곱의 합을 구하는 공식을

확실히 암기하여 문제를 해결할 수 있도록

노력하시면 이 단원은 마스터할 수 있을 겁니다~

​

우리 모두 수학을 사랑하는 날까지

한 쌤의 수학 사랑은 계속됩니다~