역 이 대우 참거짓 - yeog i daeu chamgeojis

하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.

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명제의 역, 이, 대우
삼단논법
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명제의 역,이,대우에 대해 알아보자

논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.

명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.

명제의 역, 이, 대우

명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.

여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.

이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.

마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.

집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (AC)C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?

어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.

명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.

위 그림에서 QC ⊂ PC가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.

명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면 x2 = 4이다

명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.

위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4네요.

명제 p → q : x = 2이면 x2 = 4이다
역 q → p: x2 = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x2 ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x2 ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

일단 명제는 x = 2이면 x2 = 4니까 참이죠?
역에서 x2 = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x2 = 4이므로 이도 거짓이고요.
x2 ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.

삼단논법

논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.

명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.

p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.

p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.

참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.

보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.

명제의 역,이,대우에 대해 알아보자

안녕? 알파걸이야~
지난시간에는 러셀이라는 수학자의 이야기와
명제란 무엇인지, 그리고 그 명제의 참, 거짓임을 밝히는 과정인
증명과 반례에 대한 이야기를 나눠봤지?
잘 기억나지 않는 친구들은

여기로 가서 다시 보고와도 좋아~ :)
자, 이번시간엔 이어서 명제의 역, 이, 대우에 대해 알아보도록 할거야~
바로 본론으로 들어가도록 할게!

<러셀이 들려주는 명제와 논리 이야기>의 두 번째 이야기.

명제의 역, 이, 대우를 만드는 일은 간단한 과정이야.
명제의 각 조건들을 부정하거나 조건들의 위치를 바꾸어
새로운 명제를 만드는 거지.
위치를 바꾼다는 건 알겠는데 부정한다는 말의 의미를 잘 모르겠다구?
어렵지 않아. 어떤 일을 부정한다는 건 무슨 의미지?
맞아~ 그 일에 대해 반대하거나 아니라고 하는 거야.
수학적 부정도 비슷하단다.
어떤 조건을 부정한다고 하면 'p이다'를 'p가 아니다'라고 하면 되는 거야.
아, 쉽네요! 그치?
부정의 의미를 집합을 통해 좀더 자세히 알아보자.

자. 위와 같은 조건 두 개가 있어.
이 조건들의 부정을 구하려면 어떻게 해야 할까?
일단, 첫 번째 조건을 벤 다이어그램으로 나타내 보면

이렇게 되지?
자, 이렇게 벤 다이어그램으로 보니 쉬울거야.
이 조건의 반대를 생각해보면

이렇게 되지.
마찬가지로 두 번째 조건도 벤 다이어그램으로 나타내 보면

다음과 같이 부정을 구할 수 있어.
이걸 다시 집합기호로 표현하기만 하면! 두 명제의 부정을 구할 수 있지.

짠~ 다음과 같이 두 명제의 부정을 구할 수 있는거야.
여기서 우리는 중요한 사실을 알아낼 수 있어.
바로, '또는(or)'의 부정은 '이고(and)'이고,
'이고(and)'의 부정은 '또는(or)'이라는 거야.

자, 명제의 역, 이, 대우 구하는 법을 예시를 들어 진짜 쉽게 설명해 줄게.
얘네들이 뭔지 개념은 뒤에 설명해줄 테니, 일단 친숙해지기부터 하자구~

'9의 배수이면 3의 배수이다'라는 명제를 생각해 보자.
여기서 '9의 배수이면'은 조건이고, '3의 배수이다'는 결론이야.
이 명제는 참이지.
이 명제의 역, 이, 대우를 구해볼게.

1.일단, 조건과 결론을 바꾸면? 역이 돼.
'3의 배수이면 9의 배수이다'가 이 명제의 역인거지.
2.조건과 결론을 모두 부정하면? 이가 돼.
'9의 배수가 아니면 3의 배수가 아니다'가 이 명제의 이인거야.
3.조건과 결론을 바꾼 뒤에 모두 부정하면? 대우가 돼.
'3의 배수가 아니면 9의 배수가 아니다'가 이 명제이 대우인거야.

한 개도 안어렵지? 처음 보는 친구들은 헷갈리겠지만,
반복해서 보면 금방 적응할거야~
자, 어느정도 익숙해졌을테니
이제 명제의 역, 이, 대우의 개념을 정확히 설명해줄게.
명제의 가정과 결론에 해당하는 조건들의 위치를 바꾼 것을 역이라고 해.
그리고, 위치는 그대로 둔 채 각 조건들을 부정하여 만든 것을 이라고 하지.
마지막으로 조건들을 부정한 다음 그 위치를 바꾼 명제를 원래 명제의 대우라고 한단다.
대우는 그러니까, 역과 이를 합한거라고 생각하면 돼.
명제의 역, 이, 대우 간의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있어.

또 명제의 역, 이, 대우를 집합으로 표현하면
다음과 같이 나타낼 수 있어.

역은 P와 Q의 위치를 바꾼 거고,
~p는 '낫 피', ~q는 '낫 큐'라고 읽는데
이걸 집합기호로 표현하면 각각 p의 여집합, q의 여집합으로 표현할 수 있어.
따라서 명제의 이와 대우가 위와 같이 표현되는 거란다.

또 하나 알아둬야 할 사실은,
명제가 참이면 그 명제의 대우 또한 반드시 참이라는 거야.
명제의 역, 이는? 참일수도 있고 거짓일 수도 있어.
판단해 봐야 아는거야.
또한, 명제의 역이 참이라면? 명제의 이 또한 반드시 참이겠지?
서로 대우관계니 말이야.

자, 기억하자!
대우관계에 있는 두 명제들은 반드시 둘다 참이거나 둘다 거짓이다!

지금까지 명제의 역, 이, 대우란 무엇인지,
그리고 서로간의 관계와
어떤 명제가 참일 경우 그 명제의 대우 또한 참이라는 것 등을 배워보는 시간이었어.
이해가 잘 가지 않는 부분이 있다면 댓글로 남겨주면 답변해 줄게:)
그럼,다음시간에 만나! 안녕~☆

러셀이 들려주는 명제와 논리 이야기

저자 황선희

출판 자음과모음

발매 2008.04.03.

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