가속도 구하기 문제 - gasogdo guhagi munje

2021학년도 대수능 (가)형 수학Ⅰ-https://orbi.kr/00034906249

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[칼럼] 속도와 위치에 대한 문제를 다른 관점으로 보자-https://orbi.kr/00037084425
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[칼럼] 속도와 위치에 대한 문제를 다른 관점으로 보자-https://orbi.kr/00037084425

안녕하세요. 심상범입니다.

오늘은 수업 자료보다는 칼럼 형태의 글을 하나 작성해보려고 합니다.

그 주제는 바로 수학Ⅱ 또는 미적분 단원에서 출제되는 속도, 가속도 문제입니다.

<2021학년도 6월 평가원 (나)형>

속도, 가속도 문제의 출제 의도는 서로 간의 관계를 미분과 적분을 통해 이해하는 것입니다.

그래서 우리가 흔히 보는 책에서는 이를 공식으로 암기하게끔 하고 있습니다.

물론 이 방법이 틀렸다는 것이 아닙니다.

당연히 지당히 맞는 방법이기에 책에 실리는 것이지요.

다만 다르게 생각할 수 있다는 것이고 우리가 너무 수동적인 공부를 한다는 점입니다.

미분과 적분을 배우는 과정에서 등장하는 미분계수는 쉽게 보면 기울기를 구성하는 두 점을

극한으로 보내는 것입니다.

기본 베이스가 기울기이기에 x의 변화량에 대한 y의 변화량의 비율이 곧 미분계수인 셈이죠.

이와 비슷하게 속도는 시간의 변화에 따른 위치의 변화를 나타내는 요소 이다.

(위치의 변화는 부호가 존재하므로 속도는 음수도 가능)

-> 우리가 빠르게 뛰는 것은 같은 시간 대비 더 많은 거리를 갈 수 있는 것이 이를 입증한다.

가속도는 시간의 변화에 따른 속도의 변화를 나타내는 요소 이다.

(속도의 변화 역시 부호가 존재하므로 가속도도 음수가 가능)

-> 가속도가 양수라면 우리가 가는 속도는 계속 증가하고, 음수라면 속도는 감소하는 것이다.

이 정도는 기본 개념이므로 대부분의 오르비언들이 알 것이라고 생각하고 쉽게 생각할 수 있다고 봅니다.

저도 그렇게 생각하고 기출을 보고 있었습니다.

음.. 그래

<2021학년도 수능 (나)형>

이거도 쉽네

<2020년 시행 예비평가>

이거도 쉽..? 머지

위의 두 문제와 아래의 예비평가 문제는 뭐가 다르기에 제가 이런 칼럼까지 쓰는 것일까요?

그 답은 점 P의 이동이 달라졌기 때문입니다.

예비평가 전의 기출문제에서의 점 P의 움직임은 아래와 같았습니다.

속도가 0이 되는 지점에서는 무조건 방향 전환이 일어났습니다.

그렇기에 단순히 속도 식이 0이 되는 지점만 찾는 공부법이 물망에 올랐습니다.

그러나 밑의 예비평가 문제에서 점 P의 움직임은 아래와 같습니다.

마치 이승우 선수의 갈까말까랑 비슷한 상황이죠. 거꾸로 갈꺼 같지만 결국은 가던 방향으로 가는 것이죠.

이 문제에서 단순히 속도 값이 0이라고 운동 방향이 바뀐다고 생각하면 큰 오산이 되는 것이죠.

이러한 상황을 미분, 적분 쪽으로 생각해보면 변곡점과 같습니다.

위의 문제에서

위치:기본 식

속도: 도함수

가속도: 이계도함수

이라고 하면 운동 방향이 바뀌려면 도함수의 부호가 바뀌어야 하는데 변곡점에 걸리면

속도는 0이 되나 운동 방향은 바뀌지 않는 것입니다.

그렇기에 속도 식이나 위치 식을 잘 분석하여 볼 필요가 있습니다.

이러한 사실들을 보았을 때 속도, 가속도 문제를 풀 때 속도 식을 유심히 살펴보실 필요가 있어보입니다.

비록 지금까지는 비교적 쉬운 난이도로 출제되었지만

점점 문제의 난이도가 균등하게 깔리는 요즘 상황을 보았을 때는 이런 것도 놓치면 안될 것으로 보입니다.

봐주셔서 감사합니다. 도움이 되셨다면 좋아요나 팔로우도 해주세요!

안녕하세요...

물리 문제 중에 잘 이해가 가지 않는 부분이 있어서요~ 많은 가르침 부탁드립니다.

문제1} 길이가 50m인 기차가 직선 철길을 등가속도 운동을 하며 달리고 있다. 어느 지점을 기차의앞 부

분이 지날 때 속도가 10m/2이며, 기차의 끝 부분이 지날 때 속도는 20m/s였다. 기차의 가속

도 는?

한 문제 더 질문하겠습니다.

문제2} 잔잔한 물 위에 두 척의 보트 A, B가 떠 있다.

보트 A(1000kg)에 타고 있는 사람이 보트 B(2000kg)에 줄을 걸어 2000N의 일정한 힘으로 당겼더

니 10초 만에 닿았다.

두 보트가 떨어져 있던 거리는?

빠른 답변 부탁드립니다.*^^*

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가속도는 속도의 변화량을 나타내는 값이며 속도의 변화뿐 아니라 방향의 변화도 포함해서 계산합니다. 물체의 평균 속도와 소요된 시간을 알 경우 평균 가속도를 구할 수 있습니다. 일상생활에서는 가속도를 계산해야 하는 경우가 흔치 않기 때문에 조금 어렵게 느껴질지도 모릅니다. 하지만 개념을 정확히 이해하면 평균 가속도 문제를 어렵지 않게 풀 수 있습니다.

1
가속도 개념을 이해하세요. 가속도는 점점 빠르게 또는 점점 느리게 움직이는 물체의 속도 변화량을 뜻합니다.[1] 수학책에서는 "시간에 따른 속도의 변화량"이라고 설명하지만 사실 개념은 꽤 간단합니다.[2] 또한 가속도 개념에는 물체가 움직이는 방향도 포함되며 표현할 때는 글로 적거나 수학 기호로 표기합니다.
- 일반적으로 물체가 오른쪽으로, 위로 또는 앞으로 점점 빠르게 이동할 때는 플러스(+) 기호로 표기합니다.
- 물체가 왼쪽으로, 아래로 또는 뒤로 점점 빠르게 이동할 때는 마이너스(-) 기호로 표기합니다.
2
평균 가속도를 수학 공식으로 표현하세요. 위에서 언급했듯이 가속도는 시간에 따른 속도의 변화량입니다.[3] 이를 수학 공식으로 표현하는 방법은 두 가지가 있습니다.
- aav = Δv/Δt ("델타"라고 부르는 Δ 기호는 "변화량"을 의미합니다.)
- aav = (vf - vi)/(tf - ti) 두 번째 공식에서 vf는 종속을 의미하며 vi는 초속을 의미합니다.
3
물체의 초속과 종속을 파악하세요. 예를 들어서 도로 위에 주차된 자동차가 초속 500미터로 오른쪽 방향으로 이동할 경우 초속은 0m/s, 종속은 500m/s입니다. 그리고 움직임의 방향은 오른쪽입니다.[4]
- 지금부터는 오른쪽 방향을 양수로 표기하겠습니다. 방향을 매번 글로 적어야하는 수고를 덜기 위해서입니다.
- 자동차가 처음에는 앞으로 가다가 마지막에는 뒤로 간다면 종속을 음수로 표기합니다.
4
소요된 시간을 계산하세요. 예를 들어서 자동차가 종속에 도달할 때까지 10초가 걸렸다면 다른 변수가 없는 한 tf는 10초, ti는 0초입니다.[5]
- 똑같은 단위를 사용해서 속도와 시간을 계산해야 합니다. 예를 들어서 속도를 시간당 킬로미터로 계산했다면 시간의 단위도 초, 분, 일주일, 개월이 아닌 시간으로 계산해야 합니다.
5
위에 언급한 공식을 이용해서 평균 가속도를 계산하세요. 속도값과 시간값을 공식에 넣은 후 평균 가속도를 구하면 됩니다. 아래의 풀이과정을 확인하세요.
- aav = (500m/s - 0m/s)/(10s - 0s)
- aav = (500m/s)/(10s)
- aav = 50m/s/s 또는 50m/s2 입니다.
6
계산한 값을 이해하세요. 평균 가속도는 정해진 시간 동안 물체의 속도가 평균적으로 얼마나 빠르게 변했는지를 나타내는 값입니다.[6] 위에서 설명한 예시문제의 경우, 자동차는 평균 50m/s 더 빠르게 오른쪽 방향으로 이동했다는 사실을 알 수 있습니다. 실제로 자동차가 매 순간 이동하는 속도는 바뀔 수도 있다는 점을 유념하세요. 동일한 시간 동안 일어난 속도의 변화량이 같을 경우 평균 가속도 또한 같습니다.
- 정지상태에서 출발한 자동차가 10초간 똑같은 가속도를 유지하면서 이동해서 500m/s의 속도까지 도달할 경우 평균 가속도는 50m/s2입니다.
- 정지상태에서 출발한 자동차가 900m/s의 가속도로 이동하다가 속도가 줄어서 마지막 10초때 종속이 500m/s가 될 경우 평균 가속도는 50m/s2입니다.
- 정지상태에 있는 자동차가 처음 9초 동안 출발하지 않다가 마지막 10초때 500m/s의 속도로 이동할 경우 평균 가속도는 50m/s2입니다.
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1
플러스 및 마이너스 속도 개념을 이해하세요. 속도의 개념에는 물체가 움직이는 방향도 항상 포함되지만 "위쪽", "북쪽", "벽 쪽으로" 등 매번 글로 적는 건 비효율적입니다. 그래서 대부분의 수학 문제에서는 물체가 직선상에서 이동한다고 가정하며 한쪽 방향은 플러스(+), 다른쪽 방향은 마이너스(-)로 규정합니다.[7]
- 예를 들어서 파란색 기차는 500m/s의 속도로 동쪽으로 이동하고 있고 빨간색 기차는 똑같은 속도로 서쪽으로 이동하고 있다고 가정합시다. 이 경우, 두 기차는 서로 반대 방향으로 이동하고 있으므로 빨간색 기차의 속도는 -500m/s로 표기합니다.
2
가속도의 정의에 따라 물체의 속도에 플러스(+) 또는 마이너스(-) 기호를 함께 표기하세요. 가속도는 시간에 따른 속도의 변화량입니다. 가속도가 플러스(+)인지 마이너스(-)인지 헷갈릴 경우, 속도의 변화를 확인하면 보다 쉽게 파악할 수 있습니다.
- 종속에서 초속을 뺀 값(vf - vi)이 플러스(+)인가요? 마이너스(-)인가요?
3
각 방향마다 증가하는 속도 변화량을 이해하세요. 예를 들어서 파란색 기차와 빨간색 기차가 5m/s의 속도로 서로 반대 방향으로 이동하고 있다고 가정합시다. 이 경우, 머릿속에 수직선을 그린 후 파란색 기차는 +5m/s의 속도로 수직선의 양수 방향으로 이동하고 있고 빨간색 기차는 -5m/s의 속도로 수직선의 음수 방향으로 이동하고 있다고 생각하면 됩니다. 만약 두 기차가 현재 이동하고 있는 방향으로 2m/s 더 빠르게 이동할 경우 각각의 기차의 가속도는 플러스(+)일까요? 아니면 마이너스(-)일까요?[8] 아래에서 함께 확인해봅시다.
- 파란색 기차는 수직선의 양수 방향으로 더 빠르게 이동하므로 속도가 +5m/s에서 +7m/s로 변하고 종속에서 초속을 뺀 값은 7 - 5 = 2 이므로 +2m/s입니다. 속도의 변화량이 플러스(+)이므로 가속도 값도 플러스(+)입니다.
- 빨간색 기차는 수직선의 음수 방향으로 더 빠르게 이동하므로 속도가 -5m/s에서 -7m/s로 변하고 종속에서 초속을 뺀 값은 -7 - (-5) = -7 + 5 = -2 이므로 -2m/s입니다. 속도의 변화량이 마이너스(-)이므로 가속도 값도 마이너스(-)입니다.
4
감소하는 속도 변화량을 이해하세요.[9] 예를 들어서 시속 500킬로미터로 이동하고 있던 비행기가 시속 400킬로미터로 속도를 줄였다고 가정합시다. 비행기의 속도는 여전히 플러스(+)이며 계속 앞으로 이동하고 있지만 가속도 값은 마이너스(-)입니다. 왜냐하면 이전보다 덜 빠르게 앞으로 이동하고 있기 때문입니다. 위에서 설명한 예시문제와 똑같은 방식으로 계산할 경우, 400 - 500 = -100 이기 때문에 비행기의 가속도 값은 마이너스(-)입니다.[10]
- 예를 들어서 시속 -100킬로미터로 이동하고 있는 헬리콥터의 속도가 시속 -50킬로미터로 변할 경우, 가속도 값은 플러스(+)입니다. 헬리콥터의 이동 방향은 여전히 마이너스(-)지만 -50 - (-100) = +50 이므로 속도의 변화량은 플러스(+)입니다.
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