편미분 방정식 일반해 - pyeonmibun bangjeongsig ilbanhae

안녕하세요, 설군입니다.

미분 방정식은 대학교에서 본격적으로 배우게 되는데, 물리학을 이해하기 위한 수학중 하나입니다.

물리학에서는 미분 방정식의 형태로 자연 현상이 기술되곤 하는데 그 미분 방정식을 푸는 법을 이해해야 자연 현상을 비로소 수치적으로 해석할 수 있는것이죠.(말이 이상한지 확인바람)

Dennis G. Zill의 A First Course in Differential Equatoins with Modeling Applications, 10th 를 아주 많이 참고하였습니다.

한글 제목으로는 '미분방정식 입문' 입니다.

미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다.

도함수가 몇 차냐에 관련 없이 포함만 하면 그것이 미분 방정식인 것입니다.

만약 y의 도함수를 포함한다면, 미분 방정식을 풀어서 해를 구한다는 것은 y라는 함수를 구한다는 것입니다.

이런 방정식을 해결한다는 것은 x값을 구한다는 것이죠

그런데 미분 방정식에서는 다음과 같이

이런 식으로 생겼는데요

y''은 y라는 함수를 두 번 미분했다는 것이고

y'은 한 번 미분했다는 것인데

여기서 y라는 함수를 구하는것이 바로 미분 방정식을 해결하는 것입니다.

미분 방정식이라는 학문을 배울 때에는

미분 방정식의 여러 꼴로 나누어서 푸는 방법이 다른데 그 푸는 방법을 배우는 것입니다.

이런 미분 방정식 꼴에서는 이렇게 풀고, 저런 미분 방정식 꼴에서는 저렇게 푸는 것이죠.

이런 미분 방정식들은 상미분 방정식이라고 합니다.

독립변수는 하나(첫 번째는 독립 변수가 x, 두 번째는 x, 세 번째는 t)인 상황에서

종속변수가 하나 이상인 경우에는 상미분 방정식입니다.

그니까 하나의 독립변수로만 미분하는 상황이면 상미분 방정식인 것입니다.

이런 미분 방정식들은 편미분 방정식이라고 합니다.

첫 번째 방정식을 보면, 독립변수가 x도 있고 y도 있죠

그니까 u를 x에 관해서도 미분해야되고, y에 관해서도 미분해야 된다는 것입니다.

두번째 방정식도 그렇습니다.

간단하게 그냥 미분(우리가 고등학교 과정까지 배웠던)이 들어있으면 상미분 방정식이고

편미분이 들어있으면 편미분 방정식인 것입니다.

Ordinary Differential Equation (ODE) 라고 하고

Partial Differential Equation (PDE) 라고 합니다.

앞서 저는 y', y'' 의 기호도 사용했고, dy/dx 기호도 사용했는데

보통 두 기호를 섞어서 사용합니다.

그리고 4계 도함수 부터는 보통

이런 식으로 표현합니다.

n계도함수의 경우 위와같이 표현해도 되고요.

그리고 물리학에서는 보통 독립변수가 시간 t인 경우의 미분이 자주 등장하는데

그런 경우는 '도트'를 사용해서 표현해주기도 합니다.

x라는 위치를 시간에 대해 두번 미분했다는 의미에서 x 위에 점을 두 개 찍어서 표현하는것이죠.

이 미분 방정식은 2계 1차 미분 방정식이라고 합니다.

계는 계수인데, 계수라는 건 최고계 도함수의 계수를 말하는 것입니다.

여기서 2번 미분한 것이 최고이므로, 2계인 것입니다.

그리고 차수는 최고계 도함수가 몇승이냐를 말하는데

이경우 1승이므로 1차입니다.

이건요?

최고계 도함수의 계수가 2이므로 2계이고

그게 3승 이므로 3차이니까

2계 3차 미분 방정식일까요?

아니요 루트를 풀어줘서 정수로 만들어줘야 합니다.

이렇게 완성된걸 가지고 이름을 붙여줘야 합니다.

이건 2계 6차 미분 방정식인 것이죠.

그리고 미분 방정식은 어떻게 정리하느냐에 따라 모양은 다르지만 같은 미분 방정식이 될 수 있는데

이런식으로 변형될 수도 있습니다.

선형 미분 방정식이라는 게 있는데

어떤 미분 방정식이 주어졌을 때 그 미분 방정식이 '선형'이다 라고 하려면 다음 조건을 만족해야 합니다.

1. 종속변수 y와 모든 도함수 y', y'', ... 의 차수가 1차이다.

2. y, y'', y''', ... 의 계수는 독립변수 x에 의존한다. (y에 의존하면 안 됨)

이 조건을 만족해야 선형이라고 합니다.

앞서 주어진 이 미분 방정식의 경우

y'의 차수가 1차이고, 계수가 4x이므로 x에 의존하는 상황이고

역시 y의 계수가 1이므로 y에 관계없는 상황이므로 선형입니다.

y''-2y'+y=0 이라는 미분 방정식이 있다면

역시 y''의 차수가 1이고 계수가 y에 관계없고

y'의 차수가 1이고 계수가 -2이므로 y에 관계없고

y도 그런 식이므로 선형을 만족합니다.

이것들은 전부 선형이 아닌(비선형) 미분 방정식입니다.

첫번째의 경우 y''의 계수가 y에 관계있으므로 비선형이고

두번째의 경우 sin(y)가 있으므로 비선형이고요

세번째의 경우 y의 차수가 2이므로 비선형입니다.

미분 방정식의 해는, 미분 방정식에 대입했을 때 만족합니다.

어떤 x에 관한 방정식에서 x=3이 해임을 증명하려면

방정식의 x에다가 3을 대입해서 만족하면 그게 해라는걸 증명할 수 있는데

그것처럼 미분 방정식에서도 똑같습니다.

이런 식으로 직접 미분해서 대입해보면 y가 그 미분방정식의 해가 맞다는걸 알 수 있습니다.

미분 방정식의 해가 되려면, 어쨌든 그 해는 미분 가능해야하므로 연속이어야 합니다.

미분 방정식을 풀고 나면 일반해와 특수해, 즉 General Solution과 Particular Solution으로 나뉘는데

일반해의 경우 해를 구하고 나서 상수가 남아있는 상황을 말하는 것이고

특수해는 해를 구했을 때 상수가 남아있지 않은 상황을 말하는 것입니다.

어떤 미분 방정식을 풀어서 해를 구했더니 상수가 들어있다 그러면 일반해입니다.

그런데 문제에서 주어진 초기 조건이 있는데, 그 조건을 대입해서 상수를 처리해주고 결과적으로 상수가 없어졌다

그러면 그것이 특수해입니다.

특히 물리학이나 공학에서는 특수해를 구하는게 중요합니다.

이를테면 어떤 물체가 처음에 정지해있었다는 초기조건을 쉽게 볼 수 있는데 그런 초기조건을 이용해서 특수해를 구하는것이죠.

특히나 미분 방정식에서 도함수의 계수와 임의의 상수의 개수가 일치합니다.

2계 미분 방정식이면 임의의 상수의 개수가 2개가 나와야되므로

특수해를 구하기 위해서는 초기조건도 두 개 필요한것이고

3계면 3개의 상수가 나오는 것이고요. (물론 초기조건도 3개 필요함)

이런 상황도 있습니다.

어떤 미분 방정식을 풀었는데 일반해도 구했고, 초기조건도 넣어서 특수해를 구했는데

잘 살펴보니 y=0도 해입니다.

그런데 y=0이라는 해는, 일반해의 c에 어떤값을 넣더라도 나올수가 없어요

이런 경우 y=0은 일반해도 아니고 특수해도 아닌데, 이걸 '특이해'라고 합니다. (Singular Solution)

특히나 비선형 미분 방정식에서 특이해가 자주 나타납니다.

어떤 미분 방정식을 풀었는데, 두 개의 해가 나왔다고 합시다.

그런데 앞서 미분 방정식에서 도함수의 계수가 임의의상수의 개수와 같다고 했습니다.

이 경우 2계 미분 방정식 이므로 임의의 상수가 두 개 나와야 하는데

해가 두 개이고 임의의 상수가 각각 하나씩 나오긴 했습니다.

그런데 신기하게도 이 경우는 x1과 x2라는 해를 그냥 단순히 더해서 하나의 x라는 해를 만들 수 있는데

이 경우도 해가 맞습니다.

x1과 x2의 선형 결합이 된 x라는 해도 해가 된다는것이죠.

이 경우도 역시 임의의 상수의 개수가 2개입니다.

일반적인 경우를 생각해보면, n계 미분 방정식의 특수해를 구하기 위해서

n계 미분 방정식을 풀어서 나온 일반해에서 임의의 상수의 개수는 n개이므로

초기 조건이 n개 필요하다는 걸 알 수 있습니다.

이 때 초기조건에서 y에 대입하는 x값이 동일해야합니다.

이런 식으로 말이죠.

같은 x값을 대입해준 초기조건만이 써먹을 수 있습니다.

이렇게 미분 방정식과 초기 조건을 이용해서 미분 방정식의 해를 구하는 것을 '초깃값 문제(Initial Value Problem)'이라고 부릅니다.

미분 방정식의 계수에 따라서 1계 초깃값 문제, 2계 초깃값 문제... 이런 식으로 부릅니다.

이런 미분 방정식을 풀어서, 초기조건을 이용해서 특수해를 구했다고 칩시다.

그런데 특수해  요거의 그래프를 그대로 그려보면

이렇게 되는데요,

우리가 지금 그린 이 그래프는  라는 함수의 그래프입니다.

그런데 문제에서 주어진 초기조건을 만족하는 부분은 단지

이부분이면 되거든요. 초기조건이 y(0)=-1 이므로 좌표상 (0, -1)을 지나는 그래프가 '해의 그래프'라는 것이죠

'함수의 그래프'이냐, '해의 그래프'이냐의 차이점을 설명하는 좋은 문제입니다.

이런 문제가 있는데요, 위의 미분 방정식의 일반해가 주어졌고

초기조건이 주어졌습니다.

그런데 초기조건을 대입해서 풀어보면 상수가 c1=0, c1=2 이렇게 나옵니다.

모순이 되어버립니다.

이 말은 이 미분방정식의 해가 없다는 뜻입니다.

왜 해가 없냐면, 앞서 초기조건에서 같은 x값을 대입한것이 중요하다고 했는데

위의 문제에서는 하나는 pi/2 를 대입했고 다른 하나는 pi를 대입했기때문에

이 초기조건만으로는 해를 구할 수 없는것입니다.

다음에는 변수분리형 미분 방정식에 대해 알아봅시다.

변수분리형 미분 방정식은 미분 방정식 중에 가장 간단한 형태입니다.

근데 이렇게 글 쓰다보면 미분 방정식 전부 글 쓰려면 시간이 진짜 오래 걸리겠네요....