이번 포스팅에서는 베르누이 방정식에 대해 다뤄보겠습니다. 베르누이 방정식은 유체의 속도, 압력, 위치에너지 사이의 관계를 나타낸 식입니다. 유체에 대하여 하나의 유선(streamline) 상에서 모든 형태의 에너지 합은 항상 일정하다라는 점을 설명하고 있습니다.  여기서, p: 해당 점에서의 압력 ρ: 유체의 밀도 v: 해당 점에서의 속도 g: 중력 가속도 h: 기준면에 대한 높이 C: 상수(Constant) 입니다. 다만, 이 방정식은 몇가지 가정이 있어야만 성립합니다. 베르누이 방정식에서의 가정베르누이 방정식이 만족되기 위해서는 크게 3가지 가정이 필요합니다. 1. 정상상태(steady state)여야 한다. 2. 비압축성(incompressible) 유체여야 한다. 3. 비점성(inviscid) 유체여야 한다. 해석위 식에서 각 항이 서로 선형 비례/반비례 관계에 있음을 확인할 수 있습니다. 특히, 속도의 제곱과 압력이 반비례함을 알 수 있는데요. 빠르게 돌아가는 선박의 프로펠러에서 기포가 발생하는 것을 본 적이 있을겁니다. 프로펠러 주변의 유체의 속도가 증가하면서 그에 따라 압력은 감소하고, 압력이 해당 온도에서의 포화수증기압보다 낮아지니 물이 기화하여 기포가 생기는 것이죠. 이를 공동현상(Cavitation)이라 합니다. 정리베르누이 방정식은 유체역학에 대한 질문을 할 때에 나오는 단골질문이며, 특히 공동현상(Cavitation)은 몇 해 전, 제가 취업을 위해 한참 면접을 보러 다닐 때 직무면접 단골질문이기도 했습니다. 식을 유도하는 방법까진 알 필요없지만, 베르누이 방정식에서 각 3개의 항(에너지)의 합이 일정하다는 것과, 그를 만족하기 위한 3가지 가정, Cavitation 현상 정도를 알아두면 좋을 것 같네요. 베르누이 방정식은 유체에 관한 에너지 방정식이에요~ 이 녀석의 상위 호환으로는 나비에 스토크스 방정식이라는 친구가 있져 우선은 베르누이 방정식을 알아야하겠죠? 바로 시작해봅시닷 -베르누이 방정식 유도 우선 우리는 유체의 에너지 공식을 만들기 전, 강체의 에너지 공식을 알아줘야 합니다! (참고로 오른쪽 const.는 상수라는 의미, 즉 일정하다는 뜻입니다~) 이 녀석을 풀이해보면, 외부에서 해주는 일+운동 에너지+위치 에너지 가 되겠네요! 그런데 여기서, 우리는 이 공식을 유체의 에너지에 대한 식으로 바꿔줘야 합니다! 그럼 여기에 유체의 부피 V를 나눠줄까요? 넵 그러면 위와 같겠네요! 양쪽에 똑같이 유체의 부피 V를 나눠줘도, 그 값은 항상 일정한 상수를 유지하겠죠? 이제 여기서 계산을 좀 해줄까요? 첫 항에서 s/V,즉 길이/부피는, 이렇게 됩니다! 부피는 면적×길이이므로, 이를 대입해서 약분시키면 돼요~ 그리고 m/V,즉 질량/부피는 다들 아시는대로 그냥 밀도의 정의이니, 밀도로 바꿔줍시다! 그러면 위와 같게 나오게 되네요! 여기서 F/A,즉 힘/면적은 압력의 정의~ 따라서 압력 P로 바꿔주시면, 넵 이와 같은 결과가 나오겠네요! 이렇게 해서 베르누이 방정식을 유도해보았는데요! 저기서 두 번째, 세 번째 항을 쪼금 살펴보죠~ 저 두 항들에 부피 V를 나눠주신 것 기억나요? 부피 V를 나눠주었으니, 1 부피당,즉 단위 부피당 에너지가 바로 저 녀석들입니다! 따라서 두 번째,세 번째 항의 이름은 아래와 같게 나오겠네요~ 1.단위 부피당 운동 에너지 2.단위 부피당 위치 에너지 그러면 저 식의 의미는, 외부에서 주는 압력+단위 부피당 운동E+단위 부피당 위치E 가 되겠습니다! 여기까집니닷 ☆ 오류나 질문 언제든지 환영~😘 13.베르누이 방정식1(Bernoulli Equation)
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유선 내 미소 입자의 뉴턴 제 2법칙 적용을 통한 '베르누이 방정식(법칙, Bernoulli Equation)'에 대해 알아보자. 1. 베르누이 방정식 유도아래 그림.1과 같이
유선 내에 유체의 미소입자가 있을 때, 입자에 작용하는 하중의 자유물체도(FBD)는 아래 그림.2와 같다.
접선 방향의 하중(Ft)은
(δV: 미소입자 체적)
는 접선 방향의 위치에 대한 압력의 편미분값으로 위치에 따른 압력의 변화율이다.
는 입자 정가운데를 기준으로 정한 압력이다. >>> 베르누이 방정식 주요 공식 바로가기 <<< 2. 뉴턴 제 2법칙 적용유선 내 미소입자의 미소질량은 δm, 가속도는 at 이므로 뉴턴 제 2법칙을 적용하면
이 된다. 이 때,
이고, 접선 방향 가속도 at 는
이므로 식.3 정리 후 식.4와 식.5를 대입하면 (식.5의 유도 방법은 챕터 12 참조)
이 된다. 또한 유선을 따라 아래 식.7이 성립하므로
식.6에 대입하여 정리하면
이 되고 유선을 따라 밀도가 일정할 때, 양변을 적분하면
수직 방향 길이 y 대신에 높이(height)를 나타내는 h를 적용한다.
(c는 상수, 일정)
식.10을 '베르누이 방정식(Bernoulli Equation), 베르누이 법칙'이라 한다. >>> 베르누이 방정식 주요 공식 바로가기 <<< 3. 베르누이 방정식의 기본 가정베르누이 방정식은 유선을 따라서만 만족된다. 식.10의 좌변의 각 항목 합이 유선을 따라 항상 일정하다 단, 아래 3가지 가정은 필수이다.
※ 베르누이 방정식 적용 시의 3가지 가정1. 정상 상태(Steady State) : 유동장 안에서 시간에 따라 아무 것도 변하지 않는 상태 (시간이 지나도 유선 상태가 일정)
2. 비압축성 : 유선을 따라 밀도는 일정 3. 이상 유동 : 점성력, 마찰력은 무시하고 중력과 압력만 존재한다고 가정
물리적 해석은 챕터 14 - 베르누이 방정식2에서 알아보자.
14.베르누이 방정식2(Bernoulli Equation) >>> 베르누이 방정식2 강의 바로가기 <<< 챕터 13 - 베르누이 방정식 1편에 이어 >> 베르누이 방정식1 강의 바로가기 <<< 챕터 12 - 유선(Stream Line)과 가속도에 이어 유선 내 미소 입자의 뉴턴 제 2법칙 mathmecha.tistory.com
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